Поступательное движение твердого тела

Поступательным движением твердого тела называется такое движение, при котором отрезок прямой, соединяющий две произвольные точки тела, остается во время движения параллельным своему первоначальному положению.

Основная теорема поступательного движения. При поступательном движе­нии твердого тела все его точки описывают конгруэнтные траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения.

Доказательство:

Пусть твердое тело, совершающее движение относительно некоторой системы координат, занимает в момент времени t положение I, в момент t₁ – положение II, в момент t₂ – положение III и т. д. (рис. 5.1). Выберем в теле две произвольные точки А и В и построим вектор .

Рис. 5.1

Обозначим через А₁, В₁ и А₂, В₂ положения, которые занимают точки А и В в моменты времени t₁ и t₂ соответственно. Длина вектора как расстояние между точками абсолютно твердого тела, постоянна. Направление не изме­няется в силу того, что тело движется поступательно. В этом случае траекторию точки В можно получить параллельным переносом на вектор траектории точки А. Следовательно, кривые ВВ₁В₂ и АА₁А₂ при наложении совпадают.

Так как векторы и равны, будут равны перемещения точек А и В, то есть = . Отнесем эти перемещения к отрезку времени , за который они произошли . Переходя в этом равенстве к пределу при Dt®0, получим в соответствии с определением скорости точки,

, (5.1)

где и – скорости точек А и В.

Точки А и В выбраны произвольно, следовательно при поступательном движении твердого тела векторы скоростей всех его точек в данный момент времени равны друг другу.

Так как равенство (5.1) имеет место в любой момент времени, то . Дифференцируя (5.1) по t получим , или

. (5.2)

В силу произвольности выбора точек А и В из равенства (5.2) следует, что векторы ускорения всех точек поступательно движущегося твердого тела равны между собой.

Следствия из теоремы:

a) поступательное движение твердого тела вполне определено движением одной из его точек;

b) если скорость поступательного движения постоянна (v = const), то все точки тела совершают прямолинейное и равномерное движение.