Нечеткие отношения и отображения на нечетких множествах

При описании суждений не менее важное место занимают нечеткие отношения на множествах. Нечетким бинарным отношением R_A на множестве Х называется нечеткое подмножество прямого произведения Х ´ Х, характеризующееся функцией принадлежности m_R:Х ´ Х ® [0,1]. Значение m_R для конкретной пары (x_i, x_j )Î Х ´ Х характеризует субъективную меру или степень выполнения отношения x_i R_A x_j.

Если множество Х конечно и невелико, нечеткое отношение R_A удобно задавать в матричном виде. Матрица М(R_A) представляет собой квадратичную матрицу, строки и столбцы которой помечены элементами хÎ Х, а в ячейках записаны значения r_ij = m_R(x_i, x_j).

Пример 2.5.Задать нечеткое отношение R_А x≈y («x приблизительно равно y»). Пусть x, yÎ{0,1,2,3}. Тогда нечеткое отношение удобно задавать матрицей вида:

Для непрерывных множеств Х=[0,3] и Y=[0,3] нечеткое отношение можно задать следующей функцией принадлежности: . Нечеткие отношения x≈y на дискретных и нее прерывных множествах изображены на рис. 2.10.

Пример 2.6.Задать нечеткое отношение R_B "х намного меньше, чем y". Пусть x, yÎ{0,1,2,3}. Тогда нечеткое отношение можно задать матрицей вида:

Для непрерывных множеств Х=[0,3] и Y=[0,3] нечеткое отношение "х намного меньше, чем y" можно определить такой функцией принадлежности:

		0,	если x ≥ y
,	если x < y

Нечеткие отношения "х намного меньше, чем y" на дискретных и непрерывных множествах изображены на рис. 2.11.

Как видно из примеров, нечеткие отношения являются более гибкими по сравнению с традиционными отношениями. Они позволяют задать не только сам факт выполнения отношения, но и указывать степень его выполнения, что является очень важным для многих практических задач.

Нечеткие бинарные отношения удобно представлять в виде нечеткого графа G_A = (X, L_A ), где Х - множество вершин, а L_A - множество нечетких дуг

L_A = {< m_R(x_i, x_j)/ (x_i, x_j)>}.

Рис.2.10. Нечеткое отношение "х приблизительно равно y"

Рис.2.11. Нечеткое отношение "х намного меньше, чем y"

Граф L_A для нечеткого отношения R_A, рассмотренного в примере 2.5, представлен на рис. 2.12.

Рис.2.12. Нечеткий граф

В общем случае нечеткое n - арное отношение на множестве Х выражено декартовым произведением х₁´ х₂´ ... ´ х_n , определенным отношениемR_A с функциями принадлежности m_R(х₁, х₂, …, х_n).

Носителем нечеткого отношения R_A на множествах X и Y называется подмножество декартова произведения X Y вида:

supp ,

т.е. носитель нечеткого отношения можно рассматривать как обычное отношение, связывающего все пары (x, y)Î X Y, для которых степень выполнения нечеткого отношения R не равна нулю. Более полезным является использование a - сечений нечеткого отношения, определения которых аналогично определениям множеств a - уровня.

a - сечением нечеткого отношения R на X Y называется обычное отношение, связывающее все пары (x, y)Î X Y, для которых степень выполнения нечеткого отношения R не меньше a: .

Нечеткое отношение R на X X называется рефлексивным, если для любого xÎX выполняется равенство . В случае конечного множества X все элементы главной диагонали матрицы R равны 1. Примером рефлексивного нечеткого отношения может быть отношение «приблизительно равны».

Нечеткое отношение R на X X называется антирефлексивным, если для любого xÎX выполняется равенство . В случае конечного множества X все элементы главной диагонали матрицы R равны 0. Примером антирефлексивного нечеткого отношения может быть отношение «значительно больше».

Нечеткое отношение R на X Y называется симметричным, если для любой пары (x, y)ÎX Y выполняется равенство . Матрица симметричного нечеткого отношения, заданного на конечном множестве, симметричная.

Нечеткое отношение R на X Y называется асимметричным, если выражение справедливо для любой пары (x, y)ÎX Y. Примером асимметричного нечеткого отношения может служить отношение «намного больше».

Нечеткое отношение R на X X называется транзитивным, если для любой тройки (x,z)(y,z)(x,z)ÎX X, x,y,zÎX X выполняется условие .

Нечеткое отношения R и R^-1 на X Y называется обратными, если для любой пары (x, y)ÎX Y выполняется равенство . Примером обратных нечетких отношений может служить пара «намного больше» ‑ «намного меньше».

Пример 2.7. Определить свойства нечеткого отношения, заданного в примере 2.5.

- отношение R_A рефлексивно в силу выполнения равенства , где ;

- отношение R_A симметрично в силу выполнения равенства , где ;

- для оценки свойства транзитивности отношения R_A необходимо проверить выполнение условия транзитивности для каждой дуги:

дуга : х = x₁, y = x₁, x₂, x₃, x₄, z = x₁:

;

;

;

;

; ; .

Аналогичным образом осуществляется проверка всех остальных дуг графа, представленного на рис.2.12.

Нечеткие множества, порождаемые отображениями, определяются следующим образом. Пусть f : X ®Y - отображение из X в Y , причем образ элементах обозначается через y = f(x) и пусть А - нечеткое множество в Х. Тогда отображение f порождает нечеткое множество В в Y с функцией принадлежности

.

(2.19)

Нечеткое множество В(х) в пространствеY ={y} будет условным по х, если его функция принадлежности зависит от х как от параметра. Это можно обозначить записью m_B(y/x).

В результате нечеткое множество А в X порождает нечеткое множество В в Y, определенное выражением:

(2.20)

или

.

(2.21)

Выражения (2.19) - (2.21) являются одной из формулировок принципа обобщения, играющего важную роль в теории нечетких множеств. Этот принцип позволяет расширить область определения исходного отображения fна класс нечетких множеств, а также обобщить определения операций над нечеткими множествами типа n.

Нечетким множеством типа n называется нечеткое множество, у которого значениями функции принадлежности является НМ типа n-1.Так, нечеткое множество типа 1есть a: X® [0, 1], а нечеткое множество типа 2 есть m:X ´ [0,1] ® [0, 1] и т.д.

Другими словами, нечеткое множество типа 1 полностью определяется функцией принадлежности m_a(x) для всех x Î X. Для нечеткого множества типа 2 функция принадлежности m_b(x) для x Î Xявляется нечетким множеством Yс функцией принадлежности f_x(y),т.е.

(2.22)

или для дискретного случая

.

(2.23)

Из приведенного выше становится очевидным, что нечеткость в любых проявлениях связана с функцией принадлежности, что важнейшим становится вопрос определения этой функции или ее значений (степеней принадлежности) для элементов x Î X. Этому вопросу посвящена глава 3.