Теоретико-множественные операции над нечеткими множествами

Пусть А и В - два нечетких множества, заданных на универсальном множестве Х с функциями принадлежности m_А(x) и m_B(x), а S_A , S_B Ì X.

О б ъ е д и н е н и е м нечетких множеств А и В называется D=AÈB={<m_D(х)/x>}, где в соответствии с вероятностной интерпретацией

("х Î S_A È S_B) m_D(х) = Р (х Î А Ú х Î В).

В предположении о независимости и совместности событий хÎ А и хÎ В

Используя меру неопределенности (1.3), получим:

("х Î S_A È S_B) m_D(х) ³ max(m_А(x) m_B(x)) .

В предельном случае, т.е. при использовании меры возможности (1.5)

m(x) m(x)

m_D(x) m_А(x)

m_А(x) m_D(x)

m_B(x) m_B(x)

X X

a) б)

Рис.2.5. Функции принадлежности D = AÈ B

в вероятностной (а) и возможностной (б) интерпретации

П е р е с е ч е н и е м нечетких множеств А и В называется множество Е = А Ç В = {<m_Е(х)/x>}, где в соответствии с вероятностной интерпретацией ("х Î S_A Ç S_B) m_Е(х ) = Р (х Î Е ) = Р(хÎ А & хÎ В).

В предположении о независимости процессов отнесения х к множеству А и В получим

Используя меру неопределенности (1.4), будем иметь

("х Î S_A Ç S_B) m_Е(x) £ min{m_А(x), m_В(x)}.

Тогда, принимая меру необходимости (1.9), получим равенство

m(x) m(x)

m_В(x) m_А(x) m_В(x) m_А(x)

m_Е(x)

m_Е(x) Х Х

а) б)

Рис.2.6. Функции принадлежности Е = А Ç В

в вероятностной (а) и необходимостной (б) интерпретациях

Как видно из графиков, различные интерпретации дают различный результат в определении m_А(х) и m_А(x). В общем виде эти интерпретации записываются следующим образом:

вероятностная -

,	(2.9)
,	(2.10)

возможностно-необходимостная (минимаксная) -

,	(2.11)
.	(2.12)

Выражения (2.9) и (2.10) справедливы при достаточно ограниченных условиях, в связи, с чем их использование в различных задачах затруднительно. Минимаксные операции (2.11) и (2.12) наиболее широко используются в теории нечетких множеств и ее приложениях, так как не требуют дополнительной информации, однако при этом результат получается менее четкий. В последующих операциях будут даны интерпретации, наиболее часто используемые в практических задачах. В этом отношении однозначно определяется еще одна из основных операций - дополнение.

Д о п о л н е н и е м нечеткого множества А называется множество

А={< /x>}, где

("х Î SA) = 1- mА(x).

(2.13)

m(х)

1

m_А(x)

x

Рис.2.7. Функция принадлежности

Р а з н о с т ь ю нечетких множеств А и В называется множество

F = A \ B={< m_F(x)/x>}, где

или в иной интерпретации

mF(x) = min{mA(x),(1-mB(x)}=min{mA(x), (x)}.

(2.15)

m(x) m_A(x) m_B(x) m(x) m_A(x) m_B(x)

m_F(x) x m_F(x) x

a) б)

Рис.2.8. Функции принадлежности F=A \ B:

a) - (2.14); б) - (2.15)

С т е п е н ь ю e нечеткого множества А называется нечеткое множество , где "x Î X, e > 0 . Отсюда вытекают две важные операции над нечеткими множествами:

1) операция концентрации, CON:

,

(2.16)

2) операция растяжения, DIL:

,

(2.17)

иллюстрированные на рис.2.9.

m(x) 1

DIL(A)

m_A(x)

CON(A)

Рис.2.9. Функция принадлежности m_A(x)

с концентрацией (CON(A)) и растяжением (DIL(A))

В заключение данного раздела рассмотрим вариант представления включения нечетких множеств. Для двух нечетких множеств (подмножеств) А и В, A Í B, т.е. А включает в себя В, если

Когда m_B(x) =m_A(x), т.е. когда A Í B и B Í A, то А = В, а А и В - равные нечеткие множества. Когда имеется строгое неравенство m_B(x)< m_A(x), то BÌ A - строгое включение В в А.