Понятие нечеткого множества

Представим произвольное непустое (универсальное) множество X = {x}. Если все элементы этого множества разложить по признакам, то получим ряд подмножеств X_i, состоящих из этих элементов и характеризующихся соответствующим i-м признаком: X₁, X₂,...,X_i,.... При этом, т.е. каждый элемент x_jвходит только в одно подмножество. Например, если всех людей (множество X) разделить по половому признаку, то получим два подмножества: X_м и X_ж. Естественно, X_мÇX_ж=Æ, а X_м È X_ж = X, где X_м Î X_м, X_ж Î X_ж. Теперь представим подмножества, характеризуемые возрастным признаком, например, “дети”, “подростки”, “взрослые” или, более того, “молодые” и “старые”. Подразделение людей по указанным признакам вряд ли удастся осуществить однозначно, т.е. четко. Более того, если решение этой задачи поручить различным специалистам, то вероятнее всего многие элементы множества X могут оказаться в различных подмножествах, т.е. принадлежность некоторых X не окажется однозначной, а границы между подмножествами множества X окажутся расплывчатыми, нечеткими. Такие подмножества называют нечеткими множествами.

Нечеткое множество (подмножество А в X) определяется совокупностью упорядоченных пар, составленных из элементов x множества X и соответственных степеней принадлежности m_А(x_i). Степень принадлежности m_А(x_i) принимает значения из замкнутого интервала [0;1]. Принадлежность нечеткому множеству А может быть описана функцией m_А: X® [0;1], имеющей различный характер (рис.2.1).

Рис.2.1. Виды функций принадлежности:

a) аммодальные; б) унимодальные; в) полимодальные

Функцией принадлежности m_А(х) называется функция, которая позволяет вычислить степень принадлежности произвольного элемента х универсального множества Х к нечеткому множеству А.

Нечеткие множества обозначаются различным образом, например:

или

Однако наиболее распространенными являются следующие формы записи:

- для конечного Х

А = {< m_А(x) / x >},

- для Х, имеющего мощность континуума

Множество Х называется областью определения функции принадлежности m_А(x),или базовым множеством. В случае, когда базовое множество упорядочено (не слабее шкалы строгого порядка), Х называют базовой шкалой.

Носителем нечеткого множества А является подмножество

S_A ={x | xÎX&m_А(x) >0} .

Элементы, для которых m_А(x) = 0, не относятся к носителям нечеткого множества А.

Если sup m_А(x) = 1, то нечеткое множество называется нормальным. При sup m_А(x) < 1 или sup m_А(x) > 1 - нечеткое множество называется субнормальным. Нормализация субнормального множества осуществляется по формуле:

.

В последующем будем иметь дело с нормальными нечеткими множествами.

Пример 2.1. Базовая шкала Х соответствует ряду значений температуры в летний период года, расположенных в интервале от 0 до 30°С с дискретным шагом 5°. Нечеткое множество А, соответствующее нечеткому понятию “теплая погода”, может быть представлено в виде

Графически данное нечеткое множество можно представить в виде отдельных точек на плоскости (рис.2.2), абсциссы которых соответствуют значениям хÎ Х, а значение ординат - функции m_А(x). Носителем нечеткого множества А является конечное подмножество

S_A= {10, 15, 20, 25, 30} .

Пример 2.2. На универсальном множестве Х, включающем все действительные числа, определим нечеткое множество А, соответствующее понятию “средний рост человека”. Графически это нечеткое множество можно представить кривой (рис.2.3), определяющей функцию принадлежности m_А(x). Эту функцию можно также задать или определить аналитически в виде формулы, отражающей характер изменения m_Ав зависимости от х.

Пример 2.3. На множестве людей Х необходимо определить нечеткое множество А, соответствующее понятию “красивый человек”. Здесь очевидны два характерных момента: во-первых, функция принадлежности, а точнее, степень принадлежности каждого х будет иметь явно выраженный субъективный характер, во-вторых, как ни кстати подходит поговорка: “Все познается в сравнении”, т.е. принадлежность к А для отдельных х (и то с трудом!) можно определить лишь в сравнении, поскольку базовое множество Х не имеет количественной шкалы, т.е. не является базовой шкалой.

Рис.2.2. Функция принадлежности нечеткого множества с дискретным носителем		Рис.2.3. Функция принадлежности нечеткого множества с непрерывным носителем

В теории нечетких множеств существует понятие множество уровня a или a - срез нечеткого множества, через которое определяется связь с обычными теоретико-множественными представлениями.

Множеством уровня a (a - срезом) нечеткого множества А называется четкое подмножество универсального множества Х, определяемое из условия

где a выбирается из интервала значений функции принадлежности [0,1].

Пример 2.4. В примере 2.1 возьмем a = 0,7. Тогда в множество данного уровня среза войдут (четко, однозначно) те элементы х, для которых m_А(x) ³ 0,7, а именно S_a ={20, 25, 30}.

Множество a - срезов образует семейство С(х) = {Х_a /a Î (0,1]}, представляющее монотонную последовательность, удовлетворяющую условию

Эта последовательность иллюстрирована на рис.2.4, из которого видно, что семейство С(х) образует гистограмму. При m ® ¥ эта гистограмма превращается в функцию принадлежности m_А(x). Таким образом, условие (2.2) позволяет представить нечеткое множество А с помощью четких подмножеств X_a следующим образом:

m_А

m_А(x)

Рис.2.4. Изображение a - срезов на плоскости m_А(x)

В некоторых случаях нечеткое множество А целесообразно представлять совокупностью строгих a - срезов (множество строгого уровня a):

.

(2.4)

Среди семейства C(х), описывающего нечеткое множество А, часто употребляются два множества:

1) множество уровня a = 1 (Xa=1), называемое ядром нечеткого множества А и обозначенное ;ядром нечеткого множества А называется четкое подмножество универсального множества Х, элементы которого имеют степени принадлежности равные единице: . Ядро субнормального нечеткого множества пустое.

2) множество строгого уровня a = 0 (Xa=0), называемое носителем нечеткого множества А: Х_a=0 = S_A ={ xÎ X | m_А(x) >0}, представленное выше.