О сходимости разложений

При заданном базисе ф_i(t) коэффициенты U_i,k системы уравнений (9) могут быть вычислены заранее. В этом случае определение коэффициентов разложения C_i сводится к вычислению правых частей V_i по (16) и решению системы линейных уравнений (9) или, что эквивалентно, матричного уравнения (17). При большой размерности n базиса последняя операция достаточно трудоемка. Если выбрать такие базисные функции, которые в пространстве H ортогональны между собой попарно, то есть

= = 0; (1.18)

i = 1…n; j = 1…n ; i j ,

то матрица U становится диагональной, а система (9) – разрешенной. Разложение по ортогональному базису при возможности увеличения размерности базиса до бесконечности и выполнении некоторых других условий называется обобщенным рядом Фурье [1]. Простота решения системы уравнений (9) в большинстве случаев определяет использование ортогональных базисов (обобщенных рядов Фурье), в том числе и тригонометрических. Однако, в некоторых задачах предпочтение может быть отдано неортогональным разложениям. Степень гладкости разлагаемой функции можно характеризовать порядком R младшей производной, в которой на интервале разложения существуют разрывы первого рода (конечные разрывы). Известно [2], что сходимость тригонометрического ряда Фурье, под которой понимается уменьшение коэффициентов ряда с ростом его номера, имеет порядок 1/n^R. Однако, при сколь угодно высокой степени гладкости разлагаемой функции внутри интервала разложения, несовпадение значений разлагаемой функции в начале и конце интервала разложения эквивалентно разрыву в функции, что приводит к весьма слабой сходимости ряда порядка 1/n. Это является следствием периодичности ортогонального тригонометрического базиса на интервале разложения. Возможность улучшения сходимости за счет отказа от ортогональности базиса проиллюстрируем простым примером. Разложим функцию f(t) = exp(-t) на интервале (0…2) по базису:

1, cos(pxt), sin(pxt), cos(2pxt),sin(2pxt), … cos(qpxt),.. (1.19)

Здесь q – число гармоник в базисе. Базис (19) ортогонален при x = 1. Отличие величины x от единицы характеризует удаление базиса от условий ортогональности. На рис.1 представлена зависимость от x среднеквадратической ошибки разложения

для базисов различной размерности: q = 1, q = 2, q = 3.

На Рис.2 представлены графики разлагаемой функции, разложения по ортогональным базисам различных размерностей (кривые q = 1, q =2, q = 3) и по неортогональному базису размерности q = 1 (кривая x = 0.1). Из графиков, представленных на рисунках 4.1 и 4.2, можно видеть, что увеличение размерности ортогонального базиса не приводит к существенному уменьшению ошибки разложения. Применение же неортогонального базиса позволяет существенно уменьшить ошибку разложения уже при малой размерности базиса. Увеличение объема расчетов на решение уравнений (17) может компенсироваться увеличением точности разложения.