Фильтрующие свойства разложений
В некоторых приложениях достаточно хорошо известен класс обрабатываемых функций. Например, при экспериментальном определении частотных характеристик входные и выходные сигналы являются гармоническими функциями, или близкие к ним. Отличие от гармонических функций определяется присутствием в экспериментальных данных случайных помех, уровень которых может быть достаточно высоким. Обрабатываемый сигнал f(j) в таких случаях можно представить:
f(j) = S0(j) + ah(j); S0(j) = ; j = 1…N (1.21)
Здесь S0(j) – идеальный (незашумленный) сигнал; фk(j), k = 1…n , - известные функции, составляющие идеальный сигнал; h(j) – случайный сигнал с известным законом распределения; а – коэффициент при случайном сигнале, с который условно назовем амплитудой помехи. В качестве базиса для разложения f(j) примем функции фk(j), входящие в идеальный сигнал (21). Целью разложения в этом случае является как можно более точное определение параметров C0k незашумленного сигнала, то – есть фильтрация помех. В результате разложения получим
S(j) = (1.22)
где коэффициенты разложения Ck вычислены по соотношениям (17) и (20).
На Рис. 3 представлено функциональное пространство H (для N = 3), плоскость Sn (для n = 2), а также все величины, входящие в (21) и (22). Вектор aSh(j) является проекцией вектора помехи ah(j) на плоскость Sn, то – есть разложением помехи по базису фk(j). Из треугольника а1а2а3 (рис.3) получим соотношение:
aSh(j) + d(j) = ah(j). (1.23)
Поскольку вектор ошибки d (отрезок a1a2)ортогонален плоскости Sn , то треугольник a1a2a3 является прямоугольным, поэтому, по аналогу теоремы Пифагора, из уравнения (23) можно получить:
a2ESh + Ed = a2Eh (1.24)
Здесь a2Eh– энергия помехи ah(j), a2ESh - энергия разложения aSh помехи ah(j), Ed – энергия ошибки разложения d(j) = f(j) – S(j). Фильтрующие свойства разложения можно характеризовать коэффициентом фильтрации Кф, отражающим уменьшение модуля помехи при проектировании ее на базисную гиперплоскость:
Кф = / = / . (1.25)
Из прямоугольного треугольника а1а2а3 (Рис.3) и (25) можно получить соотношение:
Кф = , (1.26)
где Eh – энергия случайного сигнала h(j), ESh – энергия разложения Sh(j) этого сигнала. При достаточно больших N эти величины обладают статистической устойчивостью и, согласно [4], их осредненные значения могут быть оценены теоретически. По определению, энергия случайного сигнала h(j)
Eh =
Осредним эту величину по ансамблю реализаций h(j):
Eh = M{ } = = = NDh = N(Gh)2 (1.27)
Здесь Dh и Gh - дисперсия и среднеквадратическое отклонение случайной величины h(j) соответственно. При известном (или предполагаемом) законе распределения эти величины известны. Так, для равномерного закона распределения с единичным диапазоном
Dh = 1/12 = 0.083; Gh = = 0.289 (1.28)
Разложение случайного сигнала h(j) представим:
Sh(j) = (1.29)
Энергия этого разложения, согласно (12), имеет вид:
Esh = (1.30)
Величины Chk и Vhk связаны соотношениями (9) и (17). Введем матрицу Q, обратную U из (17), тогда
Q = U-1 = ; j = 1…n , i = 1…n . (1.31)
Решение уравнений (9) теперь можно записать:
Chk =
Подставив это в (30), получим:
Esh = * = (1.32)
Осредним (32) по ансамблю реализаций:
Esh = M[Esh] = (1.33)
В соответствии с (20) вычислим
M[Vhr Vhk] = M[ * ] =
= M[h(j)h(i)] (1.34)
Если случайные величины h(j) и h(i) независимы, то
M[h(j)h(i)]= (1.35)
Подставив (35) в (34) с учетом (20), получим:
M[Vhr Vhk] = Dh = Dh Urk (1.36)
Подставим (36) в (33):
Esh = Dh (1.37)
Внутренняя сумма в (37) является элементом произведения матриц Q и U, которые, согласно (31), взаимно обратны, поэтому
= Qkk Ukk = 1 (1.38)
Используя (38) , из (37) получим:
Esh = Dh n (1.39)
Подставив в выражение (26) для коэффициента фильтрации осредненные значения (27) и (39), получим:
Кф = (1.40)
Дата добавления: 2021-10-28; просмотров: 298;