Фильтрующие свойства разложений

В некоторых приложениях достаточно хорошо известен класс обрабатываемых функций. Например, при экспериментальном определении частотных характеристик входные и выходные сигналы являются гармоническими функциями, или близкие к ним. Отличие от гармонических функций определяется присутствием в экспериментальных данных случайных помех, уровень которых может быть достаточно высоким. Обрабатываемый сигнал f(j) в таких случаях можно представить:

f(j) = S₀(j) + ah(j); S₀(j) = ; j = 1…N (1.21)

Здесь S₀(j) – идеальный (незашумленный) сигнал; ф_k(j), k = 1…n , - известные функции, составляющие идеальный сигнал; h(j) – случайный сигнал с известным законом распределения; а – коэффициент при случайном сигнале, с который условно назовем амплитудой помехи. В качестве базиса для разложения f(j) примем функции ф_k(j), входящие в идеальный сигнал (21). Целью разложения в этом случае является как можно более точное определение параметров C_0k незашумленного сигнала, то – есть фильтрация помех. В результате разложения получим

S(j) = (1.22)

где коэффициенты разложения C_k вычислены по соотношениям (17) и (20).

На Рис. 3 представлено функциональное пространство H (для N = 3), плоскость S_n (для n = 2), а также все величины, входящие в (21) и (22). Вектор aS_h(j) является проекцией вектора помехи ah(j) на плоскость S_n, то – есть разложением помехи по базису ф_k(j). Из треугольника а1а2а3 (рис.3) получим соотношение:

aS_h(j) + d(j) = ah(j). (1.23)

Поскольку вектор ошибки d (отрезок a1a2)ортогонален плоскости S_n , то треугольник a1a2a3 является прямоугольным, поэтому, по аналогу теоремы Пифагора, из уравнения (23) можно получить:

a²E_Sh + E_d = a²E_h (1.24)

Здесь a²E_h– энергия помехи ah(j), a²E_Sh - энергия разложения aS_h помехи ah(j), E_d – энергия ошибки разложения d(j) = f(j) – S(j). Фильтрующие свойства разложения можно характеризовать коэффициентом фильтрации К_ф, отражающим уменьшение модуля помехи при проектировании ее на базисную гиперплоскость:

К_ф = / = / . (1.25)

Из прямоугольного треугольника а1а2а3 (Рис.3) и (25) можно получить соотношение:

К_ф = , (1.26)

где E_h – энергия случайного сигнала h(j), E_Sh – энергия разложения S_h(j) этого сигнала. При достаточно больших N эти величины обладают статистической устойчивостью и, согласно [4], их осредненные значения могут быть оценены теоретически. По определению, энергия случайного сигнала h(j)

E_h =

Осредним эту величину по ансамблю реализаций h(j):

E_h = M{ } = = = ND_h = N(G_h)² (1.27)

Здесь D_h и G_h - дисперсия и среднеквадратическое отклонение случайной величины h(j) соответственно. При известном (или предполагаемом) законе распределения эти величины известны. Так, для равномерного закона распределения с единичным диапазоном

D_h = 1/12 = 0.083; G_h = = 0.289 (1.28)

Разложение случайного сигнала h(j) представим:

S_h(j) = (1.29)

Энергия этого разложения, согласно (12), имеет вид:

E_sh = (1.30)

Величины C_hk и V_hk связаны соотношениями (9) и (17). Введем матрицу Q, обратную U из (17), тогда

Q = U^-1 = ; j = 1…n , i = 1…n . (1.31)

Решение уравнений (9) теперь можно записать:

C_hk =

Подставив это в (30), получим:

E_sh = * = (1.32)

Осредним (32) по ансамблю реализаций:

E_sh = M[E_sh] = (1.33)

В соответствии с (20) вычислим

M[V_hr V_hk] = M[ * ] =

= M[h(j)h(i)] (1.34)

Если случайные величины h(j) и h(i) независимы, то

M[h(j)h(i)]= (1.35)

Подставив (35) в (34) с учетом (20), получим:

M[V_hr V_hk] = D_h = D_h U_rk (1.36)

Подставим (36) в (33):

E_sh = D_h (1.37)

Внутренняя сумма в (37) является элементом произведения матриц Q и U, которые, согласно (31), взаимно обратны, поэтому

= Q_kk U_kk = 1 (1.38)

Используя (38) , из (37) получим:

E_sh = D_h n (1.39)

Подставив в выражение (26) для коэффициента фильтрации осредненные значения (27) и (39), получим:

К_ф = (1.40)