Методы цифрового моделирования

При решении дифференциальных уравнений на ЦВМ каждая переменная представляется отсчетами, задаваемыми или вычисляемыми в дискретные моменты времени [2.1]. Значения отсчетов также имеют дискретную структуру, определяемую конечностью разрядной сетки машины.

Отсчеты различных переменных появляются на входных и выходных регистрах машины в определенной последовательности, задаваемой программой.

В универсальных ЦВМ все математические операции производятся последовательно в одном арифметическом устройстве, поэтому время решения задачи зависит от ее сложности. За счет увеличения времени решения можно практически неограниченно повышать точность решения. В некоторых случаях определяющее значение имеет возможность решения задачи в реальном масштабе времени.

Для получения значений всех переменных в момент времени

tm+1= tm+ h, где h – шаг дискретизации, необходимо провести ряд математических операций над значениями переменных в предыдущие моменты времени, на что затрачивается машинное время dt. Для решения задачи в реальном масштабе времени необходимо, чтобы dt < h . Выполнение этого условия заставляет искать компромисс между скоростью и точностью решения с учетом, разумеется, допустимых для данной задачи погрешностей.

Рассмотрим подробнее погрешности, возникающие при численном решении на ЦВМ системы дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями .

Погрешности решения определяются двумя факторами: дискретизацией переменных по величине и по времени [2.2]. Ошибки первого типа обычно называют ошибками округления, а второго - ошибками дискретизации по времени, ошибками усечения (имеется в виду усечение ряда Тейлора).

Ошибки округления зависят от разрядной сетки машины, способа округления чисел и количества вычислительных операций. В частности, с ростом количества временных шагов решения ошибки округления могут накапливаться. Ошибки дискретизации связаны с пошаговым численным решением системы дифференциальных уравнений. В машине тем или иным способом генерируется последовательность временных точек tmс шагом h. В каждой точке tmточное решение x(tm) аппроксимируется величинами x(tm), которые вычисляется по предыдущим значениям.

Ошибки численных решений подразделяют на локальные и глобальные. Под локальными понимает ошибки, возникающие в процессе вычислений на одном временном шаге, считая что предыдущие значения известны точно.

Глобальная ошибка - отличие точного решения (обычно неизвестного) от вычисленного на произвольном шаге интегрирования.

Численные методы решения дифференциальных уравнений принято делить на одношаговые и многошаговые. В одношаговых методах для вычисления решения в точке tm+1 необходимо знать решение только в точке tm, и задача Коши решается с первого же шага. В многошаговых методах для вычисления решения в точке tm+1 необходимо знать значения переменных в нескольких предыдущих точках.