Критерий Коши сходимости ряда.

Необходимый признак сходимости числового ряда.

С бесконечным рядом (1) связаны ряды вида , называемые остатками ряда (обозначается ).Справедливо следующее утверждение.

Утверждение 1. Числовой ряд (1) сходится тогда и только тогда, когда для любого сходится его остаток .

Доказательство.

Достаточность. Если для любого остаток сходится, то он сходится и при . Но – это и есть исходный ряд.

Необходимость. Если ряд (1) сходится, то существует . Но частичная сумма ряда имеет вид . Величина не зависит от . Кроме того, при . Поэтому существует . Утверждение доказано.

Итак, исследование сходимости ряда и исследование сходимости любого его остатка – эквивалентные задачи. Значит, при изучении сходимости ряда можно рассматривать его, начиная с некоторого номера. Это не влияет на сходимость ряда, изменится лишь его сумма.

Напомним формулировку критерия Коши для числовых последовательностей:

последовательность сходится тогда и только тогда, когда

.

Здесь . Так как сходимость последовательности частичных сумм означает сходимость ряда, то сформулируем критерий Коши для рядов.

Теорема. Числовой ряд (1) сходится тогда и только тогда, когда

.

Следствие. (Необходимый признак сходимости ряда). Если числовой ряд сходится, то его общий член стремится к нулю: .

Действительно, из критерия Коши при получаем неравенство , выполняющееся . Это и значит, что .

Следует отметить, что этот признак является лишь необходимым, но не достаточным признаком сходимости ряда. Можно указать расходящийся ряд, для которого выполняется условие . Например, для гармонического ряда очевидно справедливо равенство , т.е. общий член ряда стремится к нулю, но как мы видели выше, этот ряд расходится.

Необходимое условие можно сформулировать и как достаточный признак расходимости.

Теорема (достаточный признак расходимости). Если последовательность не является бесконечно малой, то ряд (1) расходится.

Таким образом, доказанная теорема иногда позволяет, не вычисляя частичной суммы S_n, сделать заключение о расходимости того или иного ряда. Например, ряды , , и расходятся, так как соответствующие последовательности не является бесконечно малыми:

, не существует, .