Геометрический смысл определителя матрицы Грама. Неравенство Адамара.

Свойство 2.7. Определитель матрицы Грама от линейно зависимой системы векторов равен 0.

Доказательство. Пусть система векторов - линейно зависима. Тогда, либо система содержит нулевой вектор, и утверждение в этом случае очевидно, либо найдется вектор , линейно выражающийся через предыдущие векторы системы. В матрице Грама вычтем из i-ой строки, предыдущие строки с коэффициентами . Определитель матрицы Грама при этом не изменится, а i-ая строка станет равной нулю. Определитель матрицы с нулевой строкой равен нулю, а, значит, и определитель матрицы Грама равен нулю.

Рассмотрим геометрический смысл матрицы Грама от линейной не зависимой системы векторов . Если k=1, то - квадрат длины вектора. Если k>1, то применим к системе векторов процесс ортогонализации и построим ортогональную систему векторов . Обозначим через P матрицу перехода от системы к системе . Эта матрица имеет треугольный вид, а на ее главной диагонали стоят 1, и ее определитель равен 1. Кроме того, и, следовательно, определители матриц Грама равны. Поскольку система векторов - ортогональна, то матрица Грама от этой системы векторов – диагональная, и ее определитель равен произведению квадратов длин векторов этой системы. Таким образом, установлено равенство . Рассмотрим случай k=2. Тогда равна длине высоты параллелограмма, опущенного на сторону (см. рис. 1). Следовательно, произведение равно площади параллелограмма натянутого на векторы , а определитель матрицы Грама равен квадрату площади этого параллелограмма. Если k=3, то вектор является ортогональной составляющей вектора к плоскости, натянутой на векторы . Следовательно, определитель матрицы Грама от трех векторов равен квадрату объема параллелепипеда, натянутого на векторы . Поскольку все рассуждения обобщаются на произвольную размерность, то тем самым установлено свойство.

Свойство 2.8 Определитель матрицы Грама от системы векторов равен 0, если система линейно зависима, и квадрату объема k-мерного параллелепипеда натянутого на векторы иначе.

Расстояние.

Расстоянием между множествами X и Y называется .

Расстояние между линейными многообразиями достигается на общем перпендикуляре.

Расстояние между линейным подпространством и точкой равно .

Расстояние между точкой x и гиперплоскостью ax=b равно .