Структура общего решения линейного однородного дифференциального уравнения

Теорема 4. Общее решение уоо линейного однородного диф.ур-ния y¢¢ + p(х) y¢ + q(х) y =0 имеет вид уоо = С1 у1(х) + С2 у2(х), где у1(х) и у2(х) - линейно независимые решения этого уравнения.  

 

Т.о., для того, чтобы получить общее решение однородного уравнения (2), достаточно найти любые два линейно независимых частных решения этого уравнения (в этом случае говорят, что они образуют фундаментальную системурешений уравнения (2)).

 

Пример 2. Частные решения у1(х) = sin x и у2(х) = cos x, у3(х) = 2sin x и у4(х) = 5cos x (их бесчисленное

множество) уравнения у′′ + у = 0 образуют фундаментальную систему решений.

Решения у5(х) = 0 и у6(х) = cos xне образуют.

Общим решением уравнения у′′ + у = 0 является функция у = С1sin x + С2cos x.

 

 
 

В некоторых случаях удается тем или иным способом (например, подбором) найти только одно частное решение у1(х). Тогда второе частное решение у2(х) можно найти по формуле

где х0Î[a, b]. Оба решения у1(х) и у2(х) при этом линейно независимы.

 

Замечание. Сказанное выше распространяется на линейные однородные диф.уравнения n-го порядка

 

y(n) + a1(x) y(n – 1) + a2(x) y(n – 2) + … + an(x) y = 0. (4)

 

1. Если функции у1 = у1(х), у2 = у2(х), … , уn = уn (х) являются частными решениями уравнения (4), то

его решением является и функция у = С1 у1 + С2 у2 + … + Сn уn .

 

2. Функции у1, у2, … , уn называются линейно независимыми на (a, b), если равенство

α1 у1 + α2 у2 + … + αn уn = 0 выполняется лишь в случае, когда α1 = α2 = … = αn = 0. Если хотя бы

одно из чисел αi ( i = 1, 2, … , n ) отлично от нуля, функции у1, у2, … , уn являются линейно

зависимыми.

3. Определитель Вронского имеет вид W(x) = .

4. Частные решения у1, у2, … , уn уравнения (4) образуют фундаментальную систему решений на

(a, b), если ни в одной точке этого интервала вронскиан не обращается в нуль, т.е. W(x) ≠ 0 х (a, b).

 

5. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения (4) имеет вид

у = С1 у1 + С2 у2 + … + Сn уn ,

где Ci (i = 1, 2, … , n) – произвольные постоянные, уi – частные решения уравнения (4),

образующие фундаментальную систему.






Дата добавления: 2017-11-21; просмотров: 1464; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2022 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.023 сек.