Формулы преобразования координат
При изменении системы координат будут меняться координаты точек. Как будет происходить это изменение?
Перейдем от репера к реперу , где известны координаты точки относительно репера и координаты векторов и в базисе : .
Здесь , так как векторы и образуют базис.
Для произвольной точки плоскости имеем координаты относительно репера – старые координаты, и координаты относительно репера – новые координаты. Выразим старые координаты точки через её новые координаты. Имеем
. (1)
( – радиус-вектор точки в репере ).
( – радиус-вектор точки в репере ).
Учитывая это и разложение векторов и по векторам базиса , из (1) получим формулы преобразования координат при замене аффинного репера:
(*).
Если при замене репера меняется только начало системы координат, то есть , то и формулы (*) принимают вид:
– формулы преобразования координат при переносе начала системы координат.
Произвольную замену репера можно осуществлять в два этапа: перенос начала системы координат и замена координатных векторов.
Особо рассмотрим преобразование прямоугольной системы координат.
Пусть реперы и ориентированы одинаково. Отложив векторы и от точки , найдем координаты этих векторов в базисе .
Имеем , , где .
Формулы (*) примут вид
(**).
Из них, в частности, получим формулы преобразования координат при повороте осей прямоугольной системы координат на угол :
Проведя аналогичные рассуждения в случае противоположно ориентированных реперов и , получим формулы
(***).
Формулы (**) и (***) можно записать в общем виде
,
где .
Дата добавления: 2021-09-25; просмотров: 384;