Направленные отрезки
Свободный вектор. Линейные операции над свободными векторами
Изучение раздела «Элементы векторной алгебры» преследует следующие цели:
- овладение векторным методом решения геометрических задач;
- подготовка к освоению координатного метода решения геометрических задач;
- знакомство с понятием векторного пространства – основой построения современных геометрических теорий.
Направленные отрезки
Рассматриваем геометрическое пространство, которое определялось аксиоматически и изучалось в школьном курсе геометрии.
О п р е д е л е н и е. Отрезок называется направленным, если указан порядок его концов. Обозначение: .
О п р е д е л е н и е. Направленные отрезки и называются сонаправленными (противоположно направленными), если лучи и сонаправлены (противоположно направлены).
О п р е д е л е н и е. Направленные отрезки и называются противоположными.
О п р е д е л е н и е. Пару совпавших точек будем называть нулевым направленным отрезком.
О п р е д е л е н и е. Длиной направленного отрезка назовем длину отрезка .
Свободный вектор
О п р е д е л е н и е .Свободным вектором называется множество всех сонаправленных отрезков одинаковой длины.
В школьном курсе геометрии вектор определяется как направленный отрезок. Два вектора называются равными, если они сонаправлены и их длины равны. Но направленный отрезок – это множество точек. Таким образом, понятие равных векторов не согласуется с понятием равных множеств. По этой причине определение вектора из школьного курса нас не совсем устраивает.
Если направленный отрезок принадлежит вектору , то говорят, что – представитель вектора . Чтобы задать свободный вектор, достаточно указать какой-либо его представитель, поэтому записывают .
Запись означает, что направленные отрезки и имеют одинаковую длину и сонаправлены.
Все нулевые направленные отрезки образуют нулевой вектор .
О п р е д е л е н и е. Длиной свободного вектора (обозначение ∣ называется длина любого его представителя.
Из определения свободного вектора вытекают следующие два свойства:
(упорядоченная пара точек однозначно определяет вектор);
(от каждой точки можно отложить вектор).
У п р а ж н е н и е. Доказать свойство .
О п р е д е л е н и е. Вектор параллелен прямой , если его представители параллельны прямой или лежат на этой прямой. Нулевой вектор считается параллельным любой прямой.
О п р е д е л е н и е. Векторы и называются коллинеарными , если они параллельны одной прямой.
О п р е д е л е н и е. Коллинеарные векторы называются сонаправленными (противоположно направленными), если представители этих векторов сонаправлены (противоположно направлены): , .
Два вектора равны, тогда и только тогда, когда одно множество сонаправленных отрезков одинаковой длины и другое множество сонаправленных отрезков одинаковой длины совпадают, а значит тогда и только тогда, когда векторы сонаправлены и их длины равны.
О п р е д е л е н и е. Противоположно направленные векторы и одинаковой длины называются противоположными векторами. Записывают .
О п р е д е л е н и е. Три вектора , , называются компланарными, если их представители лежат в одной плоскости или параллельны этой плоскости.
Очевидно, что если два из трех векторов коллинеарны, то эти три вектора компланарны.
Дата добавления: 2021-09-25; просмотров: 292;