Асимптоты графика функции

5.5. Исследование функции и построение графика

5.1.Промежутки монотонности функции

Функция называется возрастающей (убывающей) в некотором промежутке, если в этом промежутке каждому большому значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции.

Интервалы, на которых функция возрастает (убывает), называются интервалами монотонности функции.

Монотонность функции характеризуется знаком ее первой производной :

§ если в некотором промежутке , то функция возрастает;

§ если в некотором промежутке , то функция убывает.

Таким образом, для промежутков монотонности функции , надо:

1) найти нули и точки разрыва производной функции ;

2) определить знак на каждом промежутке.

Пример.Найти промежутки монотонности функции .

Решение.Дифференцируя данную функцию, находим

.

Найдем нули и точки разрыва функции:

.

– не существует .

Эти точки делят числовую ось на 4 промежутка: ;

0

.

Методом проб определим знак на каждом промежутке:

§ на имеем ; на имеем ;

§ на имеем ; на имеем .

Таким образом, в промежутках и функция возрастает, в промежутках и – убывает.

5.2. Экстремум функции

Пусть функция непрерывна на некотором интервале , содержащем точку .

Точка называется точкой максимума функции , если существует такая окрестность точки , что для всех точек этой окрестности выполняется неравенство:

.

Точка называется точкой минимума функции , если существует такая окрестность точки , что для всех этой окрестности выполняется неравенство

.

Точки минимума и максимума функции называют точками экстремума.

Функция на данном промежутке может иметь несколько экстремумов, причем некоторые из минимумов функции могут быть больше некоторых из ее максимумов.

Точками экстремума могут служить только точки, принадлежащие области определения функции, в которых первая производная обращается в нуль или терпит разрыв. Такие точки называются критическими точками I-го рода.

Точками экстремума являются лишь те из критических точек, при переходе через которые первая производная меняет знак, а именно, если при переходе через критическую точку в положительном направлении знак меняется с плюса на минус, то точка – точка максимума, если с минуса на плюс – минимума.

Правило нахождения экстремума функции:

1. Находим первую производную.

2. Находим нули и точки разрыва .

3. Определим знак производной в полученных промежутках.

4. Находим точки экстремума.

5. Находим значение функции в точках экстремума.

Пример.Найти экстремум функции .

Решение. Функция определена на всей числовой оси.

1. Находим производную:

;

2. Находим нули и точки разрыва производной:

.

– не существует, если .

3. Точки разрыва и нули функции нанесем на числовую ось и определим знаки производной на промежутках

– 4 0

4. Таким образом, точки и – являются точками экстремума, причем – точка минимума, – максимума.

5. Найдем значение функции в точках экстремума:

.

В точке экстремума нет, т.к. знака при переходе через точку не меняет.

Следует отметить, что точки, в которых производная обращается в ноль, иногда проще исследовать на экстремум, выяснив знак второй производной (второй достаточный признак): точка , в которой , а существует и отлично от нуля, является экстремальной, причем точкой максимума, если , и точкой минимума, если .

Пример. Найти экстремумы функции .

Решение. Область определения вся числовая ось. Найдем первую производную: .

Найдем нули производной: ;

;

;

.

Найдем вторую производную: .

Найдем знак второй производной в критических точках

.

Таким образом, – точки минимума, – точка максимума. Найдем экстремумы функции: ;

.

5.3.Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба

Кривая называется выпуклой (вогнутой) в некотором промежутке, если она расположена ниже (выше) касательной, проведенной к кривой в любой точке этого промежутка. Выпуклость или вогнутость кривой характеризуется знаком второй производной , а именно, если в некотором промежутке , то кривая выпукла, если , то вогнута.

Точкой перегиба кривой называется такая ее точка, которая отделяет участок выпуклости от участка вогнутости.

Точками перегиба графика функции могут служить точки, находящиеся внутри области определения функции, в которых вторая производная обращается в нуль или терпит разрыв, и при переходе через которые вторая производная меняет знак.

Таким образом, получаем правило отыскания промежутков выпуклости и вогнутости и точек перегиба графика функции.

1. Найти вторую производную функции .

2. Найти точки, в которых вторая производная обращается в нуль или не существует.

3. Определить знак второй производной на каждом промежутке.

4. Найти точки перегиба.

Пример. Исследовать на выпуклость, вогнутость и точки перегиба график функции .

Решение.Область определения функции . Находим вторую производную, дифференцируя функцию дважды.

существует на всей оси и обращается в нуль в точках:

.

Определим знак второй производной на промежутках:

0 1

На интервале – функция выпукла, на интервале – вогнута. Точка с абсциссой – не является точкой перегиба, т.к. вторая производная не меняет знак при переходе через нее.

Точка с абсциссой – точка перегиба. Найдем значение функции в этой точке.

.

Таким образом, – точка перегиба.

5.4.Асимптоты графика функции

Прямая называется асимптотой кривой , если расстояние от точки , лежащей на кривой, до этой прямой стремится к нулю при удалении точки в бесконечность.

Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.

Вертикальной асимптотой является прямая , проходящая через точку разрыва функции. Уравнение наклонной асимптоты имеет вид: , де ; .

Прямая является горизонтальной асимптотой, если существует конечный предел функции при или (горизонтальная асимптота – частный случай наклонной асимптоты при ).

Пример.Найти асимптоты кривой .

Решение.Кривая имеет вертикальную асимптоту (в точке функция не существует). Найдем наклонные асимптоты .

;

.

Таким образом, – наклонная асимптота

5.5. Исследование функции и построение графика

Общее исследование функции и построение ее графика выполняется по следующей схеме:

1. Найти область определения.

2. Проверить, не является ли функция четной или нечетной, периодической.

3. Найти промежутки монотонности функции и ее экстремумы.

4. Найти промежутки выпуклости и вогнутости графика функции и его точки перегиба.

5. Найти асимптоты графика функции.

6. Построить по полученным результатам график функции.

Пример.Исследовать функцию и построить график.

Решение.

1. Область определения : ; . Функция существует на интервалах: .