НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ.

Пользуясь таблицей интегралов и свойствами I, II неопределенного интеграла, можно вычислить многие интегралы.

Пример. Вычислить интеграл .

Решение. . Воспользовались формулой (3).

Пример. Вычислить интеграл .

Решение.

. Воспользовались формулой (3).

Пример.Вычислить интеграл .

Решение.

. Воспользовались свойством II и формулами (1), (3).

Пример. Вычислить интеграл .

Решение.

. Воспользовались свойством II и формулами (1), (3), (2), (4).

Пример. Вычислить интеграл .

Решение.

Воспользовались свойствами II и I и формулами (2), (4).

Пример. Вычислить интеграл .

Решение. Подынтегральная функция является неправильной дробью, т.к. степень числителя больше степени знаменателя. Разделив числитель на знаменатель, получим

. Воспользовались свойствами II и I и формулами (3), (2), (12).

Пример. Вычислить интеграл .

Решение. . Воспользовались формулой (5).

Пример. Вычислить интеграл .

Решение. . Воспользовались формулой (11).

Пример. Вычислить интеграл .

Решение. . Воспользовались формулой (13).

Пример. Вычислить интеграл .

Решение. . Воспользовались формулой (14).

Пример. Вычислить интеграл .

Решение.

. Воспользовались формулой (12).

Пример. Вычислить интеграл .

Решение. . Воспользовались формулой (11).

Пример. Вычислить интеграл .

Решение. . Воспользовались формулой (14).

Пример. Вычислить интеграл .

Решение. . Воспользовались формулой (13).

Пример. Вычислить интеграл .

Решение. . Воспользовались свойствами II и I и формулами (2), (8).

Пример. Вычислить интеграл .

Решение. . Воспользовались свойством II и формулами (10), (2).

МЕТОД ПОДСТАНОВКИ

Пусть функция непрерывная. Полагая , , где производная есть функция непрерывная, получаем

.

Если окажется, что интеграл в правой части равенства находится проще исходного, то цель замены переменной достигнута.

Для получения искомого результата в найденном интеграле с новой переменной переходим к переменной , пользуясь исходной формулой .

1. Полезно запомнить частный случай:

.

Интеграл дроби, числитель которой есть дифференциал знаменателя, равен натуральному логарифму модуля знаменателя.

Действительно, положим , тогда . Получим

.

Пример. Вычислить интеграл .

Решение.Наличие множителя дает возможность применить подстановку , откуда . Дифференцируя, получаем , следовательно,

.

Пример. Вычислить интеграл .

Решение.Полагаем , , тогда , следовательно,

.

Пример. Вычислить интеграл .

Решение. Полагая , имеем , следовательно,

.

Пример. Вычислить интеграл .

Решение. Множитель позволяет применить подстановку . Имеем , следовательно,

.

Пример. Вычислить интеграл .

Решение. Положим , тогда , следовательно,

.

Или:

.

Пример. Вычислить интеграл .

Решение. Полагая , имеем , следовательно,

.

Или:

.

Проверка. Убедимся, что . Находим

,

следовательно, интегрирование произведено правильно.

Пример. Вычислить интеграл .

Решение. .

Проверка. Убедимся, что . Находим

,

следовательно, интегрирование произведено правильно.

Пример. Вычислить интеграл .

Решение.

.

Пример. Вычислить интеграл .

Решение. Применим подстановку , тогда ;

.

Пример.Вычислить интеграл .

Решение. .

Проверка. .

Пример. Вычислить интеграл .

Решение. Числитель дроби равен дифференциалу знаменателя, следовательно, интеграл равен логарифму модуля знаменателя

.

Проверка. .

Пример.Вычислить интеграл .

Решение. .

Пример. Вычислить интеграл .

Решение. .

Пример. Вычислить интеграл .

Замечание. Выражения, содержащие или , можно интегрировать с помощью тригонометрических подстановок. Так, если в подынтегральном выражении содержится , то применяется подстановка или , если содержится , то подстановка или , если же содержится , то подстановка или .

Решение. Применим подстановку , тогда .

.