Производная функции
Таблица производных
Логарифмическая производная
Производная сложной функции
Производная высших порядков
Производная функции
Рассмотрим функцию . Пусть – некоторое значение аргумента, – соответствующее значение функции. От значения переходим к другому значению аргумента . Разность (обозначим через ) называется приращением аргумента. Значение функции, соответствующее значению аргумента , равно . Разность называется приращением функции в точке , соответствующим приращению аргумента , и обозначается или :
(2.1.1)
Рисунок 2.1 – Геометрическая интерпретация приращения функции
Производнойфункции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента (т.е. ) при стремлении приращения аргумента к нулю, если этот предел существует и конечен.
Производная функции в точке обозначается символами или . Т.о., по определению
(2.1.2)
Таблица производных
1. ; | ; | 10. ; | ; |
2. ; | ; | 11. ; | ; |
3. ; | ; | 12. ; | ; |
4. ; | ; | 13. ; | ; |
5. ; | ; | 14. ; | ; |
6. ; | ; | 15. ; | ; |
7. ; | ; | 16. ; | ; |
8. ; | ; | 17. ; | ; |
9. ; | ; | 18. ; | . |
Пример.Найти производную функции
Решение.Полагая , ; ; получим
При достаточном количестве упражнений необходимость в записи промежуточных переменных отпадает.
Если функция задана неявно, т.е. уравнением, не разрешенным относительно ( ), то для нахождения производной надо продифференцировать по обе части этого уравнения, учитывая, что есть функция от , и затем разрешить полученное уравнение относительно .
Пример.Найти производную функции .
Решение.Дифференцируем по обе части данного равенства и считаем функцией от , находим
.
Из полученного равенства находим .
;
;
.
Логарифмическая производная функции есть производная от логарифма данной функции:
.
4.3. Логарифмическое дифференцирование.
Вычисление логарифмической производной называется логарифмическим дифференцированием.
Логарифмическое дифференцирование применяется при вычислении производной степенно-показательной функции, т.е. функции вида , а также при нахождении производной произведения нескольких функций или производной дроби.
Пример.Найти производную функции .
Решение.Функция – степенно-показательная.
Прежде чем дифференцировать, прологарифмируем данную функцию:
;
.
Дифференцируем как неявно заданную функцию:
Из полученного равенства выразим :
Вместо подставим :
.
Пример.Найти производную функции .
Решение.Прологарифмируем данную функцию
;
.
Дифференцируем:
.
Дата добавления: 2021-09-25; просмотров: 291;