Производная функции

Таблица производных

Логарифмическая производная

Производная сложной функции

Производная высших порядков

Производная функции

Рассмотрим функцию . Пусть – некоторое значение аргумента, – соответствующее значение функции. От значения переходим к другому значению аргумента . Разность (обозначим через ) называется приращением аргумента. Значение функции, соответствующее значению аргумента , равно . Разность называется приращением функции в точке , соответствующим приращению аргумента , и обозначается или :

(2.1.1)

Рисунок 2.1 – Геометрическая интерпретация приращения функции

Производнойфункции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента (т.е. ) при стремлении приращения аргумента к нулю, если этот предел существует и конечен.

Производная функции в точке обозначается символами или . Т.о., по определению

(2.1.2)

Таблица производных

1. ;	;	10. ;	;
2. ;	;	11. ;	;
3. ;	;	12. ;	;
4. ;	;	13. ;	;
5. ;	;	14. ;	;
6. ;	;	15. ;	;
7. ;	;	16. ;	;
8. ;	;	17. ;	;
9. ;	;	18. ;	.

Пример.Найти производную функции

Решение.Полагая , ; ; получим

При достаточном количестве упражнений необходимость в записи промежуточных переменных отпадает.

Если функция задана неявно, т.е. уравнением, не разрешенным относительно ( ), то для нахождения производной надо продифференцировать по обе части этого уравнения, учитывая, что есть функция от , и затем разрешить полученное уравнение относительно .

Пример.Найти производную функции .

Решение.Дифференцируем по обе части данного равенства и считаем функцией от , находим

.

Из полученного равенства находим .

;

;

.

Логарифмическая производная функции есть производная от логарифма данной функции:

.

4.3. Логарифмическое дифференцирование.

Вычисление логарифмической производной называется логарифмическим дифференцированием.

Логарифмическое дифференцирование применяется при вычислении производной степенно-показательной функции, т.е. функции вида , а также при нахождении производной произведения нескольких функций или производной дроби.

Пример.Найти производную функции .

Решение.Функция – степенно-показательная.

Прежде чем дифференцировать, прологарифмируем данную функцию:

;

.

Дифференцируем как неявно заданную функцию:

Из полученного равенства выразим :

Вместо подставим :

.

Пример.Найти производную функции .

Решение.Прологарифмируем данную функцию

;

.

Дифференцируем:

.