Производная функции


Таблица производных

Логарифмическая производная

Производная сложной функции

Производная высших порядков

Производная функции

Рассмотрим функцию . Пусть – некоторое значение аргумента, – соответствующее значение функции. От значения переходим к другому значению аргумента . Разность (обозначим через ) называется приращением аргумента. Значение функции, соответствующее значению аргумента , равно . Разность называется приращением функции в точке , соответствующим приращению аргумента , и обозначается или :

(2.1.1)

 

                           
                               
                         
                     
                         
                           
                           
                       
                             
                 
                                 
                                   

Рисунок 2.1 – Геометрическая интерпретация приращения функции

 

Производнойфункции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента (т.е. ) при стремлении приращения аргумента к нулю, если этот предел существует и конечен.

Производная функции в точке обозначается символами или . Т.о., по определению

(2.1.2)

 

 

Таблица производных

1. ; ; 10. ; ;
2. ; ; 11. ; ;
3. ; ; 12. ; ;
4. ; ; 13. ; ;
5. ; ; 14. ; ;
6. ; ; 15. ; ;
7. ; ; 16. ; ;
8. ; ; 17. ; ;
9. ; ; 18. ; .

Пример.Найти производную функции

Решение.Полагая , ; ; получим

При достаточном количестве упражнений необходимость в записи промежуточных переменных отпадает.

Если функция задана неявно, т.е. уравнением, не разрешенным относительно ( ), то для нахождения производной надо продифференцировать по обе части этого уравнения, учитывая, что есть функция от , и затем разрешить полученное уравнение относительно .

Пример.Найти производную функции .

Решение.Дифференцируем по обе части данного равенства и считаем функцией от , находим

.

Из полученного равенства находим .

;

;

.

Логарифмическая производная функции есть производная от логарифма данной функции:

.

 

4.3. Логарифмическое дифференцирование.

 

Вычисление логарифмической производной называется логарифмическим дифференцированием.

Логарифмическое дифференцирование применяется при вычислении производной степенно-показательной функции, т.е. функции вида , а также при нахождении производной произведения нескольких функций или производной дроби.

Пример.Найти производную функции .

Решение.Функция – степенно-показательная.

Прежде чем дифференцировать, прологарифмируем данную функцию:

;

.

Дифференцируем как неявно заданную функцию:

Из полученного равенства выразим :

Вместо подставим :

.

Пример.Найти производную функции .

Решение.Прологарифмируем данную функцию

;

.

Дифференцируем:

.



Дата добавления: 2021-09-25; просмотров: 296;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.014 сек.