Односторонние пределы функции

Если отыскивается предел функции при условии, что , стремясь к , может принимать только такие значения, которые меньше , то этот предел, если он существует, называется левосторонним пределом функции . Для того, чтобы показать, что стремится к , оставаясь меньше , применяется запись

.

Если отыскивается предел функции при условии, что , стремясь к , может принимать только такие значения, которые больше , то этот предел, если он существует, называется правосторонним пределом функции. Для того, чтобы показать, что стремится к , оставаясь больше , применяется запись

.

Очевидно, что предел функции при существует тогда и только тогда, когда существуют и равны между собой ее левосторонний и правосторонний пределы . В связи с этим можно дать еще одно определение непрерывной функции.

Определение 3. Функция называется непрерывной при , если ее правосторонний и левосторонний пределы существуют, равны между собой и равны значению функции в этой точке

.

Пример.

Рассмотренная в разделе 4 функция не имеет предела в точке . Однако, если ограничиться рассмотрением только положительных , то предел при , стремящемся к 0, существует и равен +1

.

Если же рассматривать только отрицательные , то предел при , стремящемся к 0, существует и равен –1

.