Свойства непрерывных функций

											Пусть функция определена при некотором значении , т.е. , и в некоторой окрестности .

Определение 1. Функция называется непрерывной в точке , если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е. .

Определение 2. Если предел функции при существует и равен значению функции в точке , то функция называется непрерывной при , т.е. для непрерывной функции должно выполняться равенство

.

Причем для непрерывности функции при это равенство должно выполняться при стремлении к по любому закону.

Для того, чтобы функция была непрерывной при , требуется выполнение трех условий:

1. Точка должна принадлежать области определения функции. Функция должна быть определена не только в самой точке , но и в некоторой ее окрестности.

2. Функция должна иметь конечный предел при : .

3. Предел должен быть равен значению функции в точке , .

Если соотношение не имеет место для функции в данной точке , то функция называется разрывной в точке , а сама точка называется точкой разрыва.

Функция непрерывная в каждой точке некоторой области (интервала, отрезка) называется непрерывной в этой области.

Пример. Доказать, что функция непрерывна в произвольной точке .

Доказательство. Пусть функция определена в точке и , тогда в точке и приращение функции , когда приращение аргумента , имеет вид

.

Найдем предел при

.

Следовательно, функция непрерывна в произвольной точке .

Аналогичным образом рассматривая каждую основную элементарную функцию, можно доказать теорему:

Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Непрерывная на отрезке функция достигает на этом отрезке по меньшей мере один раз наибольшего значения и наименьшего значения .

									Необходимо иметь в виду, что утверждение теоремы о существовании наибольшего значения функции может оказаться неверным, если рассматривать значение функции на интервале .

1. Пусть функция непрерывна на отрезке и на концах этого отрезка принимает значение разных знаков, тогда между точками и найдется по крайней мере одна точка , в которой функция обратится в 0.

							.

2. Пусть функция определена и непрерывна на отрезке . Если на концах этого отрезка функция принимает неравные значения , , то каково бы ни было число , заключенное между числами и , , найдется такая точка , заключенная между и , , что .

3. Сумма, разность, произведение и частное двух функций, непрерывных в одной и той же точке , есть функция непрерывная в той же точке (в случае частного предполагается, что функция делитель не обращается в 0 при ).