Второй замечательный предел

Функция стремится при , стремящемся к бесконечности, к пределу : ,

где, - основание натуральных логарифмов. Этот предел называется вторым замечательным пределом и используется всегда при нахождении пределов вида “ ”. Здесь основание системы , когда . Таким образом, имеем дело со случаем неопределенности вида .

Если в этом пределе положить , то при имеем (но ) и получаем: .

При отыскании пределов, связанных с неопределенностью вида , надо так преобразовать исходную функцию, чтобы появились вышеупомянутые выражения. Чаще всего используется следующий общий прием.

Пусть , а , тогда предел находим так. Представим функцию в виде . Показатель степени записываем в виде:

тогда

Делаем подстановку . Так как при , то , т.е. при . Поэтому справедливо соотношение

Нахождение предела функции сводится к нахождению предела . (Подчеркнем, что может быть и числом и одним из символов ).

Пример. Найти .

Решение. Основание степени , когда , а показатель степени . Находим . Показатель степени представляем в виде

и находим его предел

В результате получим

В ряде случаев использование общего приема приводит к ненужным усложнениям и пример можно решить гораздо проще.

Пример. Найти .

Решение. Основание степени , когда , . Таким образом, имеет место случай неопределенности вида . Разделим числитель и знаменатель дроби на , и получим

Пример. Найти .

Решение. Основание степени , когда , а показатель степени стремится к бесконечности, поэтому приведем рассматриваемую дробь к виду, позволяющему использовать второй замечательный предел. Можно записать

Учитывая, что предел второго сомножителя и разделив числитель и знаменатель дроби на , перейдем к пределу в числителе и знаменателе дроби

Очень часто второй замечательный предел используется для нахождения пределов выражений, содержащих логарифмические и показательные функции. Тут следует учесть, что под знаком логарифма можно переходить к пределу, однако надо следить, чтобы предел функции, стоящей под знаком логарифма был положительным числом, поскольку логарифмическая функция определена только для положительных значений аргумента.

Пример. Найти .

Решение. Учитывая свойства логарифмов, перепишем выражение, стоящее под знаком предела, в виде

Выполненные преобразования корректны, поскольку функция, стоящая под знаком логарифма, при положительна. Поскольку

и предел второго сомножителя равен 1 при

то разделив числитель и знаменатель дроби на , получим

неопределенность вида , при раскрытии которой можно воспользоваться вторым замечательным пределом

В результате получим

Пример. Найти .

Решение. При стремится к 0 , а , поэтому имеем дело с неопределенностью вида . Для того чтобы свести нахождение предела ко второму замечательному пределу, сделаем замену переменной, положив . Теперь следует и , стоящий в показатели степени, выразить через новую переменную . Из равенства следует, что , поэтому новая переменная , когда .

Получаем

Очень часто при вычислении пределов встречаться с бесконечными функциями различного порядка малости.

Пусть и - бесконечно малые функции при , т.е. , , тогда справедливы следующие определения:

1. Если , то функция называется бесконечно малой функцией высшего порядка малости по сравнению с функцией , а функция - низшего порядка малости по сравнению с функцией .

2. Если , ( ), то бесконечно малые функции и называются бесконечно малыми функциями одного порядка малости.

При вычислении предела алгебраической суммы (или разности) бесконечно малых функций можно пренебречь бесконечно малой функцией высшего порядка малости по сравнению с бесконечно малой функцией низшего порядка малости.

Пример. Найти .

Решение. Основание степени при , а показатель . Таким образом, имеет место неопределенность вида . Находим . Сделаем замену переменной, положив . При . Подставим в показатель степени , выраженную через новую переменную :

Получим

Предел первого сомножителя равен 1 при . Учитывая, что является бесконечно малой функцией высшего порядка по сравнению с бесконечно малой функцией

при

имеем

Этот пример можно решить гораздо проще, применяя общее правило.

Показатель степени представляем в виде

и находим его предел

В результате получаем

Следует запомнить следующие пределы, которыми часто приходится пользоваться при решении примеров и которые являются следствием второго замечательного предела: