Второй замечательный предел
Функция стремится при
, стремящемся к бесконечности, к пределу
:
,
где, - основание натуральных логарифмов. Этот предел называется вторым замечательным пределом и используется всегда при нахождении пределов вида “
”. Здесь основание системы
, когда
. Таким образом, имеем дело со случаем неопределенности вида
.
Если в этом пределе положить , то при
имеем
(но
) и получаем:
.
При отыскании пределов, связанных с неопределенностью вида , надо так преобразовать исходную функцию, чтобы появились вышеупомянутые выражения. Чаще всего используется следующий общий прием.
Пусть , а
, тогда предел
находим так. Представим функцию
в виде
. Показатель степени
записываем в виде:
тогда
.
Делаем подстановку . Так как при
, то
, т.е.
при
. Поэтому справедливо соотношение
.
Нахождение предела функции сводится к нахождению предела . (Подчеркнем, что
может быть и числом и одним из символов
).
Пример. Найти .
Решение. Основание степени , когда
, а показатель степени
. Находим
. Показатель степени представляем в виде
и находим его предел
.
В результате получим
.
В ряде случаев использование общего приема приводит к ненужным усложнениям и пример можно решить гораздо проще.
Пример. Найти .
Решение. Основание степени , когда ,
. Таким образом, имеет место случай неопределенности вида
. Разделим числитель и знаменатель дроби на
, и получим
.
Пример. Найти .
Решение. Основание степени , когда
, а показатель степени стремится к бесконечности, поэтому приведем рассматриваемую дробь к виду, позволяющему использовать второй замечательный предел. Можно записать
.
Учитывая, что предел второго сомножителя и разделив числитель и знаменатель дроби на
, перейдем к пределу в числителе и знаменателе дроби
.
Очень часто второй замечательный предел используется для нахождения пределов выражений, содержащих логарифмические и показательные функции. Тут следует учесть, что под знаком логарифма можно переходить к пределу, однако надо следить, чтобы предел функции, стоящей под знаком логарифма был положительным числом, поскольку логарифмическая функция определена только для положительных значений аргумента. |
Пример. Найти .
Решение. Учитывая свойства логарифмов, перепишем выражение, стоящее под знаком предела, в виде
.
Выполненные преобразования корректны, поскольку функция, стоящая под знаком логарифма, при положительна. Поскольку
и предел второго сомножителя равен 1 при
,
то разделив числитель и знаменатель дроби на , получим
неопределенность вида , при раскрытии которой можно воспользоваться вторым замечательным пределом
.
В результате получим
.
Пример. Найти .
Решение. При
стремится к 0
, а
, поэтому имеем дело с неопределенностью вида
. Для того чтобы свести нахождение предела ко второму замечательному пределу, сделаем замену переменной, положив
. Теперь следует и
, стоящий в показатели степени, выразить через новую переменную
. Из равенства
следует, что
, поэтому новая переменная
, когда
.
Получаем
.
Очень часто при вычислении пределов встречаться с бесконечными функциями различного порядка малости.
Пусть и
- бесконечно малые функции при
, т.е.
,
, тогда справедливы следующие определения:
1. Если , то функция
называется бесконечно малой функцией высшего порядка малости по сравнению с функцией
, а функция
- низшего порядка малости по сравнению с функцией
.
2. Если , (
), то бесконечно малые функции
и
называются бесконечно малыми функциями одного порядка малости.
При вычислении предела алгебраической суммы (или разности) бесконечно малых функций можно пренебречь бесконечно малой функцией высшего порядка малости по сравнению с бесконечно малой функцией низшего порядка малости.
Пример. Найти .
Решение. Основание степени при
, а показатель
. Таким образом, имеет место неопределенность вида
. Находим
. Сделаем замену переменной, положив
. При
. Подставим в показатель степени
, выраженную через новую переменную
:
.
Получим
.
Предел первого сомножителя равен 1 при . Учитывая, что
является бесконечно малой функцией высшего порядка по сравнению с бесконечно малой функцией
при
имеем
.
Этот пример можно решить гораздо проще, применяя общее правило.
Показатель степени представляем в виде
и находим его предел
.
В результате получаем
.
Следует запомнить следующие пределы, которыми часто приходится пользоваться при решении примеров и которые являются следствием второго замечательного предела: |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Сформулируйте первый замечательный предел.
2. Сформулируйте второй замечательный предел.
3. Что такое эквивалентные функции?
Дата добавления: 2021-09-25; просмотров: 395;