Эквивалентные функции

Нахождение пределов тригонометрических выражений значительно упрощается, если использовать понятие об эквивалентных функциях.

Пусть и - бесконечно малые функции при стремящемся к , т.е. , (причем может быть как числом, так и , , ). Если

,

то бесконечно малые функции и называются эквивалентными или равносильными. В этом случае пишут ~ .

Теорема о замене бесконечно малых функций им эквивалентными гласит, что предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую из них или какую-либо одну заменить эквивалентными им.

Пример.Доказать, что при функции и - эквивалентные бесконечно малые.

Если докажем, что , то тем самым докажем, что ~ при . Действительно,

.

Полезно запомнить, что при следующие функции являются эквивалентными

~ , ~ , ~ , ~ ,

~ , ~ , ~

и использовать эти соотношения при нахождении пределов. Эти соотношения эквивалентности остаются в силе и при , если заменить в них на функцию такую, что при .

Пример. Найти .

Решение. При числитель и знаменатель дроби – функции бесконечно малые, более того, ~ , ~ . Используя теорему о замене бесконечно малых функций им эквивалентными, получим

.

Пример. Найти .

Решение. Так как при бесконечно малая функция эквивалентна , ~ , то

.