Первый замечательный предел

Функция стремится при , стремящемся к нулю, к пределу, равному единице, т.е.

.

Этот предел называется первым замечательным пределом. Он представляет собой неопределённость вида и используется, как правило, при нахождении пределов тригонометрических выражений. При этом неважно, какой вид имеет переменная , главное, чтобы в числителе и знаменателе она была одной и той же.

Пример. Найти .

Решение. Числитель и знаменатель дроби при стремятся к нулю, поэтому приведём искомую дробь к виду, позволяющему использовать первый замечательный предел. Разделим числитель и знаменатель дроби на . Это можно сделать, так как значение не должно рассматриваться

.

Сделаем в числителе подстановку (отсюда следует, что , когда , а ), а в знаменателе подстановку (отсюда следует, что , когда , а ). В результате получим

.

Необходимо подчеркнуть, что если под знаком предела стоит сумма или разность тригонометрических функций, а неопределённость имеет вид , то нужно так преобразовать их по известным формулам, чтобы получилось выражение вида .

Пример. Найти .

Решение. Числитель и знаменатель дроби при стремятся к нулю. Преобразуем числитель дроби

и применим приём, использованный в предыдущем примере

.

Пример. Найти .

Решение. При функция - бесконечно большая, а - величина бесконечно малая, т.е. мы имеем произведение функции бесконечно большой на бесконечно малую величину – неопределённость вида . Учтём, что , тогда

.