Переходные процессы в линейных электрических цепях с двумя реактивными элементами

Рассмотрим характер этих процессов на примере короткого замыкания цепи с последовательным соединением индуктивности и емкости.

Пусть емкость, заряженная до напряжения , замыкается на цепь с последовательным соединением сопротивления и индуктивности. Тогда уравнение по второму закону Кирхгофа будет одно­родным: , откуда .

Характеристическое уравнение имеет два корня:

.

Если т.е. , корни будут различными .

В этом случае решение дифференциального уравнения , а ток в цепи

В момент t = 0 напряжение на емкости и ток индуктивности, рав­ный току всей цепи, будут такими же, как и до замыкания:

,

откуда постоянные интегрирования ,

и, следовательно, ток и напряжения на участках будут:

; ;

;

Характер переходного процесса зависит от соотношения между параметрами r, L и С.

1. Если , корни и будут вещественными, причем , , .

Напряжение конденсатора, начи­ная с , непрерывно убывает, оставаясь всегда положительным, так как его первая экспонента положительная и больше второй отрица­тельной. Ток i цепи и напряжение на сопротивлении, начинаясь с нуля, всегда отрицательны, что соответствует току разряда. Напря­жение на индуктивности возникает скачком, принимая значе­ние ; проходит через нуль в момент при равенстве значений своих экспонент, т.е. при ,откуда и затем становится положительным.

Так как пропорционально про­изводной от тока, то в момент времени абсолютное значение тока проходит через максимум. Приравняв производную нулю, можно видеть, что имеет максимум при .

Рассмотренный вид разряда называется апериодическим.

2. Пусть .

Введем обозначения: , , .

Тогда выражение для корней характеристического уравне­ния можно переписать следующим образом:

Так как w – число вещественное, корни и будут комплекс­ными. После подстановки значений и выражения для тока и напряжений на участках примут вид:

, ,

.

Обозначим

.

Аналогично

.

Ток и напряжения цепи, в которой и, следовательно, , , :

, , , .

Следовательно, если бы в цепи не происходило рассеяние энергии, ток и напряжения на участках были бы синусоидальными функциями времени, т.е. имели бы место собственные незатухающие колебания, угловая частота которых равна резонансной частоте этой цепи . Для незатухающих колебаний векторная диаграмма и график мгновенных значений тока и напряжений на индуктивности и емкости аналогичны тем, которые имеют место при резонансе в цепи с последовательным соединением r, L и С. Следовательно, и здесь происходит полный обмен энергиями между С и L.

Если в цепи есть сопротивление , разряд также носит коле­бательный характер, но амплитуды тока и напряжений посте­пенно уменьшаются, так как с ростом t стремится к нулю. Угловая частота этих собственных затухающих колебаний . Энергетический процесс заключается в обмене энергиями между емкостью и индуктивностью с непрерывным рассеянием энергии сопротивлением. Переходный процесс закончится, когда запасенная энергия полностью рассеется.

3. Если , частота и в выражении для тока возникает неопределен­ность: . Такой режим разряда называется критическим.

Раскрывая неопределенность , для этого случая получаем:

, , .

Характер разряда будет апериодическим.