Разложение периодических функций в ряд Фурье

Периодическими несинусоидальными токами и напряжениями называют токи и напряжения, изменяющиеся во времени по периодическому несинусоидальному закону. Явления, происходящие в линейных цепях при периодических, несинусоидальных напряжениях и токах проще всего поддаются исследованию, если кривые напряжения или тока разложить в тригонометрический ряд Эйлера - Фурье.

Как известно из курса математики, всякую периодическую функцию с периодом , удовлетворяющую условиям Дирихле, можно разложить в ряд Фурье. Этот ряд состоит из суммы постоянной составляющей А₀ (нулевая гармоника) и синусоид разных частот (гармоник) .

(*)

где k – целые числа, начиная с единицы, - основная частота, Т - период функции.

Здесь составляющая при k = 1 носит название первой гармоники, все остальные члены вида при k > 1 носят название высших гармоник. Гармоники для которых k - нечетное число, называются нечетными, а для которых k - четное число, называются четными.

Суммы синусов с вспомогательными углами можно представить рядом Фурье, имеющим следующую форму:

(**)

Здесь ; .

Коэффициенты могут быть вычислены при помощи следующих интегралов:

; ; .

Постоянная составляющая равна среднему значению функции за ее период .

Зная коэффициенты ряда (**) можно перейти к форме (*), вычисляя

и .

В том случае, если периодическая функция задана не аналитически, а в виде графической кривой, то при разложении ее в ряд Фурье коэффициенты ряда можно отыскать приближенно, заменяя интегралы суммой. В этом случае период Т кривой на графике разбивают на n равных частей, после чего коэффициенты , , находят из выражений, где вместо следует подставить .

; ; .