Расчет цепи при произвольной форме воздействия. Интеграл Дюамеля

Предположим, что линейная цепь включается на напряжение , являющееся произвольной функцией времени. Заменим кривую напряжения ступенчатой линией.

В этом случае можно считать, что в момент времени цепь включается на постоянное начальное напряжение , а затем через равные промежутки времени включаются дополнительные источники постоянных напряжений . Эти напряжения в общем случае обладают разной величиной и имею­т положительный знак при возрастании напряжения и отрицатель­ный при его убывании. В результате ток в любой ветви при переходном процессе можно найти как сумму токов, вызываемых отдельными постоянными состав­ляющими напряжения.

Для применения этого метода необходимо предварительно рассчитать переходный ток иссле­дуемой ветви по заданному постоянному входному напряжению и найти переходную функцию , связывающую искомую и заданную величины. Эта функция зависит от времени и может быть найдена с помощью классического или операторного методов расчета переходного процесса при включении данной цепи под действие постоянного напряжения. При вычислении тока переходная характеристика имеет размерность проводимости и называется переходной проводимостью .

Если воздействие запаздывает на время t*, то на такое же время запаздывает и реакция цепи. Следовательно, переходная проводимость

.

Составляющая переходного тока от напряжения , включаемого в начальный момент, равна , а от скачка напряжения , включаемого в момент , равняется . В резуль­тате при переходе в пределе к бесконечно малым промежуткам времени dτ значение искомого переходного тока будет:

Полученное выражение называется интегралом Дюамеля.