Согласованная фильтрация

По существу корреляционный приемник является активным фильтром и выполняет операцию скалярного произведения

. (17.9)

Эту операцию можно реализовать также с помощью пассивного линейного фильтра с постоянными параметрами. Если на вход фильтра подать принимаемый сигнал, то напряжение на выходе фильтра

, (17.10)

где g(t) – импульсная реакция фильтра, является зеркальным отображением s(t) относительно t = T.

Выберем g(t) такой, чтобы в момент t = T получить на выходе значение y(T), совпадающее со скалярным произведением (17.9).

Легко видеть, что это будет выполнено, если g(t) = s_i(T- t). Действительно, при этом

. (17.11)

Такой фильтр называют согласованным (СФ) с сигналом s_i(t). Иначе говоря, фильтр является согласованным с сигналом s(t), если его импульсная реакция

g(t) = a·s(T - t), (17.12)

где а – постоянная.

Передаточная функция СФ с импульсной реакцией (17.12) определяется преобразованием Фурье

, (17.13)

где – функция комплексного сопряженная со спектральной плотностью сигнала s(t).

Следовательно, с точностью до коэффициента a АЧХ согласованного фильтра определяется амплитудным спектром сигнала s(t). Смысл согласования проявляется в том, что СФ хорошо пропускает те частоты, которые дают большой вклад в энергию сигнала. ФЧХ СФ (без учета слагаемого -ωT) обратна по знаку ФЧХ сигнала s(t). Благодаря этому при t = T все составляющие спектра принимаемого сигнала складываются в фазе и дают максимальный отклик.

Отметим одно важное свойство СФ, которое иногда рассматривается как его определение. Будем подавать сумму детерминированного сигнала и белого шума на вход различных линейных цепей с постоянными параметрами и измерять в момент t = T отношение пиковой мощности сигнальной составляющей к средней мощности шума на выходе цепи. Оказывается, что это отношение максимально для СФ и равно

, (17.14)

где E_s – энергия сигнала;

N₀ – спектральная плотность белого шума.

Иначе говоря, СФ является единственным линейным фильтром, обеспечивающим получение максимально возможного отношения сигнала к помехе на выходе.

Интересно сравнить h₂²_max с отношением средних мощностей сигнала Р_s и помехи P_x на входе фильтра h₁²:

Откуда

, (17.15)

где n = 2F_ST – база сигнала.

Таким образом,улучшение отношения сигнала к помехе, даваемое СФ, тем больше, чем больше база сигнала n, т.е. чем сложнее форма сигнала.

Согласованный фильтр для сигнала произвольной формы может быть реализован (приближенно) на основе линии задержки с отводами (рис. 17.6).

При подаче на вход 1 линии задержки с отводами (ЛЗО) короткого импульса, на вход ФНЧ поступают (с интервалом Δt, обусловленным конструкцией линии задержки) такие же импульсы с амплитудами, определяемыми коэффициентами усиления a₀, a₁, a₂,… a_n-1. Тогда на выходе ФНЧ формируется, в частности если ФНЧ является идеальным, отклик представляющий собой конечную сумму ряда Котельникова аппроксимирующую сигнал s(t) требуемого вида.

Рис. 17.6. Согласованный фильтр на основе линии задержки с отводами

Нетрудно видеть, что если короткий импульс подать на вход 2, то отклик будет зеркальной копией сигнала s[(n-1) Δt - t]. Коэффициенты a₀, a₁, a₂,… a_n-1 представляют собой отсчеты сигнала s(t) с шагом, определяемым верхней частотой F_в спектра сигнала.

Следует иметь в виду, что такой способ реализации согласованного фильтра является хотя и универсальным, но заведомо приближенным, так как любой сигнал конечной длительности имеет нефинитную спектральную плотность, а идеальный ФНЧ нереализуем. Тем не менее такой фильтр применяется на практике: например, для согласованной фильтрации сигналов с линейной частотной модуляцией используют в качестве линий задержки с отводами интегральные устройства на поверхностных акустических волнах (ПАВ).

Форма сигнала на выходе такого фильтра отличается от формы входного сигнала. Но назначение согласованного фильтра состоит в вычислении корреляционного интеграла для наиболее надежного принятия решения о наличии или отсутствии сигнала на входе приемника. Иными словами, согласованный фильтр должен обеспечивать максимальное отношение сигнал/шум в момент времени t₀.