Двухфазная фильтрация несмешивающихся жидкостей, вытеснение нефти водой. Функция Бакли – Леверетта.

Углеводородные системы могут быть гомо- и гетерогенными. В гомогенной системе все ее части имеют одинаковые физические и химические свойства. Для гетерогенной системы физические и химические свойства в разных точках различны. Гетерогенные системы состоят из фаз. Фаза - это часть системы, которая является гомогенной и отделена от других фаз отчетливыми границами.

Насыщенностью i -й фазы s_i называется доля объема порового пространства, занятого этой фазой:

, (8.1)

Сумма всех насыщенностей в поровом объеме равна единице.

Если поровое пространство пористой среды заполнено только двумя жидкостями - нефтью и водой, то тогда выполняется соотношение:

, (8.2)

где s_н , s_в - соответственно насыщенности нефтью и водой.

Далее введем обозначения:

, , (8.3)

В общем случае при описании двухфазной фильтрации увеличивается число параметров, подлежащих определению, что существенно усложняет теоретическое исследование. Далее, рассмотрим наиболее простое, с точки зрения математического моделирования, одномерное двухфазное течение, соответствующее вытеснению жидкости, первоначально заполнявшей поры, другой жидкостью, не смешивающейся с первой, впервые предложенное американскими исследователями С. Бакли и М. Левереттом (1942 г.).

Нефть вытесняется водой в прямолинейном тонком горизонтальном образце, который представлен однородной изотропной пористой средой при следующих допущениях:

1) вода, нефть и пористая среда несжимаемы, т. е.:

;

2) капиллярные силы пренебрежимо малы, т.е. пластовое давление в нефти и воде одинаковое:

;

3) влияние массовых сил не учитывается;

4) температура постоянна;

5) фазовые переходы и химические реакции отсутствуют.

С учетом сделанных допущений и (8.3), уравнения неразрывности для воды и нефти примут вид:

, (8.4)

(8.5)

Сложив уравнения (8.4) и (8.5) получим:

(8.6)

Уравнение (8.6) показывает, что суммарная скорость двухфазного потока v(t) (или суммарный расход обеих жидкостей Q(t)) не зависит от координаты x и является либо постоянной величиной, либо известной функцией времени:

или . (8.7)

Скорости фильтрации воды и нефти подчиняются закону Дарси, который записывается для каждой из жидкостей отдельно:

, (8.8)

. (8.9)

где , - коэффициенты динамической вязкости соответственно воды и нефти, k – абсолютная проницаемость (определяемая по какой либо одной из жидкостей или газу), а и - относительные фазовые проницаемости воды и нефти, характеризующие долю проводимости среды для соответствующей фазы при данной насыщенности.

Отметим, что произведение k на характеризует фазовую проницаемость i -ой жидкости , как проницаемость в обычном смысле (абсолютную) только в условиях совместной фильтрации.

Относительные фазовые проницаемости определяются экспериментально, являются в основном функциями насыщенности соответствующей фазой и изменяются в пределах от 0 до 1, возрастая с ростом насыщенности.

Типичные экспериментальные кривые фазовых проницаемостей, определяемые при совместной фильтрации воды и нефти, приведены на рисунке 28.

Отметим некоторые характерные особенности этих кривых. Для каждой жидкости существует предельная насыщенность, такая, что при меньших значениях насыщенности эта жидкость неподвижна.

Движение воды может происходить только в том случае, если , где - называют насыщенностью связанной водой (или коэффициентом водоудерживающей способности). Следует понимать, что величина остаточной водонасыщенности (начальное содержание воды в пласте) зачастую отличается от величины насыщенности связанной водой. Это связано с особенностями формирования реальных нефтенасыщенных пластов. Величина - конечная насыщенность водой, при которой нефть неподвижна, т.е. фильтруется только вода. Величина называется остаточной нефтенасыщенностью, или количество остаточной нефти, которое не может быть вытеснено из пористой среды водой, сколь бы длительным не было вытеснение. Таким образом, совместное течение двух фаз имеет место лишь в следующем интервале изменения насыщенности водой:

. (8.10)

Относительная проницаемость смачивающей фазы (воды) при имеет значение, меньше 1, тогда как величина при близка к единице. Это означает, что присутствие связанной смачивающей фазы мало влияет на течение несмачивающей жидкости (нефти), тогда как присутствие остаточной нефти значительно «стесняет» движение воды.

Разделив уравнение (8.8) на сумму уравнений (8.8) и (8.9), с учетом (8.7), можно получить:

, (8.11)

где , а F(s) – функция насыщенности, называемая функцией распределения потоков Бакли - Леверетта.

Функция F(s) имеет простой физический смысл – объемная доля воды в суммарном потоке двух несмешивающихся жидкостей. Функция Бакли – Леверетта играет важную роль при гидродинамических расчетах двухфазных потоков, определяя полноту вытеснения и характер распределения насыщенности по пласту. Характерный вид функции Бакли-Леверетта представлен на рис. 29.

Из (8.11) следует:

. (8.12)

Подставив (8.12) в (8.8) и используя правило дифференцирования сложной функции, получим уравнение только относительно s:

. (8.13)

где - производная функции Бакли-Леверетта по s, рис.29.

Уравнение (8.13) решается методом характеристик:

, (8.14)

где x₀ координата с начальной водонасыщенностью s₀ при t = 0.

Формулу (8.14) можно проинтерпретировать следующим образом: точка с постоянной насыщенностью движется с постоянной скоростью, пропорциональной v/m, и является функцией самой насыщенности.

Для нахождения профиля водонасыщенности в любой момент времени необходимо ввести начальное и граничное условия. Например, если на входе в образец, изначально (t = 0) насыщенный нефтью с равномерно распределенной остаточной водонасыщенностью s₀, закачивают только воду (F(s) = 1 в точке x = 0), то начальное и граничное условия примут вид:

(8.15)

Как видно из рисунка 29, одному и тому же значению , определяющему скорость распространения насыщенности заданной величины, соответствуют два разных значения насыщенности s. Это означает, что, начиная с некоторого момента времени, распределение насыщенности становится многозначным, что физически невозможно.

Такая многозначность решения снимается, если ввести скачок насыщенности, положение которого определяется из условия материального баланса на скачке.

Рис. 29. Характерный вид функции Бакли-Леверетта F(s) и ее производной F’(s). Определение основных параметров вытеснения по функции Бакли-Леверетта за безводный период.

а) б)

Тогда можно определить значение насыщенности на фронте вытеснения (на скачке) из соотношения:

. (8.16)

Уравнение имеет простую геометрическую интерпретацию – уравнение касательной, проведенной из точки (s₀, F(s₀)) к кривой F(s), где s_ф – абсцисса точки касания, рис.29.

Скорость фронта вытеснения, с учетом (8.14) при x₀=0, определяется из соотношения

. (8.17)

Определить среднюю водонасыщенность за фронтом вытеснения (в зоне совместного течения воды и нефти) в безводный период добычи (на выход из образца или на выходное сечение пласта поступает одна только нефть), определяемую как отношение объема воды, содержащейся в пласте к моменту времени t, к объему порового пространства в зоне смеси, можно из соотношения:

. (8.18)

Графически можно определить по точке пересечения касательной к кривой F(s), определяющей фронтальную насыщенность, с прямой F(s)=1.

Определить время прорыва воды (момент появления воды на выходе из образца или на выходном сечении пласта) можно из решения уравнения (8.14) при x₀=0, положив х=L (L – длина образца или пласта) и s = s_ф:

. (8.19)

Одним из важнейших параметров разработки нефтяных месторождений является коэффициент нефтеотдачи пласта.

Коэффициент нефтеотдачи - отношение количества извлеченной из пласта нефти к первоначальным ее запасам в пласте. Различают текущую и конечную нефтеотдачу. Под текущей нефтеотдачей понимают отношение количества извлеченной из пласта нефти на данный момент разработки пласта к первоначальным ее запасам. Ее величина переменна во времени и возрастает по мере увеличения количества извлеченной из пласта нефти. Конечная нефтеотдача - отношение количества добытой нефти к первоначальным ее запасам в конце разработки пласта.

Нефтеотдача вообще зависит от многих факторов. Обычно выделяют факторы, связанные с самим механизмом извлечения нефти из пластов, и факторы, характеризующие полноту вовлечения пласта в целом в разработку.

Коэффициент текущей нефтеотдачи пластов при их разработке с применением заводнения представляют в виде следующего произведения:

(8.20)

где: - объем добытой из пласта нефти за определенный период времени, - общий объем геологических запасов нефти, - объем запасов нефти, охваченных заводнением.

- коэффициент вытеснения нефти из пласта – величина, равная отношению количества вытесненной из пласта нефти к запасам нефти, первоначально находившимся в части пласта, вовлеченной в разработку. Отметим, что для текущей нефтеотдачи коэффициент вытеснения величина переменная во времени.

- коэффициент охвата пласта разработкой – величина, равная отношению запасов нефти, вовлеченных в разработку, к общим геологическим запасам нефти в пласте.

В некоторых случаях коэффициент нефтеотдачи равен произведению не только двух, но и трех и большего числа коэффициентов:

(8.21)

где: - первоначальный объем нефти в заводненной области пласта, а - коэффициент вытеснения нефти водой из заводненной области пласта через определенный момент времени, - коэффициент заводнения – отношение объема нефти, в охваченной заводнением области пласта к первоначальным запасам в этой области.

Для плоскопараллельного случая, когда пласт однороден с постоянным распределением насыщенности по всей его длине и разрабатывается одной добывающей и одной нагнетательной цепочками скважин (а также при анализе результатов лабораторных экспериментов) при определении коэффициента нефтеотдачи можно не учитывать коэффициенты охвата и заводнения, приняв их равными 1.

Тогда коэффициент вытеснения за безводный период определяют по формуле:

. (8.22)