Представление сигналов в виде рядов ортогональных функций
При передаче сообщений одновременно существует большое количество разнообразных сигналов. Допустим, что имеются два сигнала si и sj и определим энергию суммарного сигнала
Видно, что в отличие от самих сигналов, их энергии неаддитивны. Энергия суммарного сигнала содержит так называемую взаимную энергию, которая определяется как скалярное произведение двух вещественных сигналов
(2.11)
Если взаимная энергия сигналов si и sj равна нулю, то они называются ортогональными.
Для исследования различных свойств сообщений, сигналов и помех удобно использовать разложение этих процессов в ряды.
Любой процесс (с некоторыми математическими ограничениями) можно представить в виде ряда:
, (2.12)
где jk(t) – ортогональные функции, т.е.:
Ck – коэффициенты разложения, Еk – энергия ортогональных функций.
Если выбрать в качестве ортогональных функций:
то этот ряд (2.12) называется рядом Фурье (тригонометрический ряд).
(2.13)
W = 2π/Т – частота первой гармоники, определяемая периодом T (T– период функции x(t)).
Другая, эквивалентная формула записи тригонометрического ряда:
(2.14)
На рис. 2.5 приведены графики, иллюстрирующие представление периодической последовательности прямоугольных импульсов s(t) конечным числом слагаемых (k = 5) ряда Фурье.
Рис. 2.5. Аппроксимация прямоугольных импульсов суммой гармоник
Для спектрального представления последовательности прямоугольных импульсов начало отсчета целесообразно брать в середине импульса.
Действительно, в этом случае в разложении останутся только косинусоидальные составляющие, так как интегралы от нечетных функций за период равны нулю bk = 0.
Для четного сигнала x(t) = x(-t), коэффициенты ak ≠ 0, bk = 0.
Для нечетного сигнала x(t) = -x(-t), коэффициенты ak = 0, bk ≠ 0.
Для функции s(t) (рис. 2.5) разложение имеет вид
(2.15)
Периодическая последовательность прямоугольных импульсов s(t) представляется как результат сложения постоянной составляющей Am/2 и синусоидальных сигналов с частотами F1, 3F1, 5F1, …, причем период синусоиды с частотой F1 совпадает с периодом последовательности импульсов s(t) . Для удобства F1 можно представить в виде F1 = Ω1/2π = 1/T.
Легко заметить, что график суммы двух первых слагаемых разложения (2.15) воспроизводит форму графика функции s(t) очень грубо, только в основных чертах. Учет третьего слагаемого существенно улучшает совпадение суммы с функцией s(t). Таким образом, с увеличением числа учитываемых гармоник точность представления s(t) возрастает.
Совокупность всех гармонических составляющих разложения функции в ряд Фурье называется спектром функции.
Наличие отдельных гармонических составляющих спектра и величины их амплитуд можно наглядно показать с помощью спектральной диаграммы (рис. 2.6), у которой горизонтальная ось служит осью частот, а вертикальная – осью амплитуд.
Рис. 2.6. Спектр амплитуд прямоугольных импульсов
В точках оси частот F1, 3F1, 5F1, …, отображаются амплитуды соответствующих гармонических составляющих разложения функции.
На практике спектральные диаграммы называют более кратко – амплитудный спектр, фазовый спектр. Чаще всего интересуются амплитудным спектром (рис. 2.6). По нему можно оценить процентное содержание гармоник, наличие и уровни отдельных гармонических составляющих спектра.
Дата добавления: 2017-10-04; просмотров: 2485;