Переход от логической функции к логической схеме

Задача синтеза.По заданной функции f требуется построить схему, реализующую данную функцию. Задача синтеза решается неоднозначно. Можно поставить в соответствие заданной функции f целое множество схем.

Для построения логической схемы необходимо элементы, предназначенные для выполнения логических операций, указанных в логической функции, располагать в порядке, указанном в булевом выражении.

Пример. Построить логическую схему устройства, реализующего логическую функцию

Рис. 7. Пример логической схемы устройства

Контрольные вопросы.

1. Как обозначается на схеме логический элемент дизъюнкция?

2. Как обозначается на схеме логический элемент конъюнкция?

3. Как обозначается на схеме логический элемент инверсия?

4. Как обозначается на схеме логический элемент штрих Шеффера?

5. Как обозначается на схеме логический элемент стрелка Пирса?

6. Как обозначается на схеме логический элемент эквивалентность?

7. Что такое СДНФ?

8. Что такое СКНФ?

9. Как по таблице истинности задать СДНФ?

10. Как по таблице истинности задать СКНФ?

Лекция № 13

Тема: «Конечные автоматы»

План лекции

1. Переключательные схемы.

2. Функции проводимости.

3. Примеры

1. Переключательные схемы.

В компьютерах и других автоматических устройствах широко применяются электрические схемы, содержащие сотни и тысячи переключательных элементов: реле, выключателей и т.п. Разработка таких схем весьма трудоёмкое дело. Оказалось, что здесь с успехом может быть использован аппарат алгебры логики

Переключательная схема — это схематическое изображение некоторого устройства, состоящего из переключателей и соединяющих их проводников, а также из входов и выходов, на которые подаётся и с которых снимается электрический сигнал.

Каждый переключатель имеет только два состояния: замкнутое и разомкнутое. Переключателю Х поставим в соответствие логическую переменную х, которая принимает значение 1 в том и только в том случае, когда переключатель Х замкнут и схема проводит ток; если же переключатель разомкнут, то х равен нулю.

Будем считать, что два переключателя Х и связаны таким образом, что когда Х замкнут, то разомкнут, и наоборот. Следовательно, если переключателю Х поставлена в соответствие логическая переменная х, то переключателю должна соответствовать переменная .

2. Функции проводимости.

Всей переключательной схеме также можно поставить в соответствие логическую переменную, равную единице, если схема проводит ток, и равную нулю — если не проводит. Эта переменная является функцией от переменных, соответствующих всем переключателям схемы, и называется функцией проводимости.

Найдем функции проводимости F некоторых переключательных схем:

a)

Схема не содержит переключателей и проводит ток всегда, следовательно F=1;

б)

Схема содержит один постоянно разомкнутый контакт, следовательно F=0;

в)

Схема проводит ток, когда переключатель х замкнут, и не проводит, когда х разомкнут, следовательно, F(x) = x;

г)

Схема проводит ток, когда переключатель х разомкнут, и не проводит, когда х замкнут, следовательно, F(x) = ;

д)

Схема проводит ток, когда оба переключателя замкнуты, следовательно, ;

е)

Схема проводит ток, когда хотя бы один из переключателей замкнут, следовательно, ;

Например:

Схема состоит из двух параллельных ветвей и описывается функцией

Две схемы называются равносильными, если через одну из них проходит ток тогда и только тогда, когда он проходит через другую (при одном и том же входном сигнале).

Из двух равносильных схем более простой считается та схема, функция проводимости которой содержит меньшее число логических операций или переключателей.

Задача нахождения среди равносильных схем наиболее простых является очень важной. Большой вклад в ее решение внесли российские учёные Ю.И. Журавлев, С.В. Яблонский и др.

При рассмотрении переключательных схем возникают две основные задачи: синтез и анализ схемы.

Синтез схемы по заданным условиям ее работы сводится к следующим трём этапам:

1. составлению функции проводимости по таблице истинности, отражающей эти условия;

2. упрощению этой функции;

3. построению соответствующей схемы.

Анализ схемы сводится к

1. определению значений её функции проводимости при всех возможных наборах входящих в эту функцию переменных.

2. получению упрощённой формулы.

3. Примеры.

1. Упростим переключательные схемы:

Здесь первое логическое слагаемое является отрицанием второго логического слагаемого , а дизъюнкция переменной с ее инверсией равна 1.

Упрощенная схема :

2. Построим схему с пятью переключателями, которая проводит ток в том и только в том случае, когда замкнуты ровно четыре из этих переключателей.

Схема имеет вид:

3. Найдем функцию проводимости схемы:

Имеется четыре возможных пути прохождения тока при замкнутых переключателях a, b, c, d, e : через переключатели a, b; через переключатели a, e, d; через переключатели c, d и через переключатели c, e, b.

Функция проводимости

4. Упростим переключательные схемы:

Упрощенная схема:

5. Упростить релейно-контактную схему: