Способ составления СНФ для произвольной формулы алгебры логики по таблице истинности.

В ~ А = «Над моей головой раскрыт зонтик тогда и только тогда, когда на улице идет дождь».

2. Другие логические связки, известные нам по логике Буля, в логике выска­зывания не используются. Теперь сделаем по поводу каждой из пяти указанных связок небольшие замечания.

Отрицание. Высказывание А по-другому можно прочитать так:

«Истинно то, что на улице идет дождь».

Поэтому, если А = 0 , то это означает, что на улице не идет дождь. Дополняющее высказывание также ориентируется на истинное высказывание, т.е. его следует понимать как

«Истинно то, что на улице не идет дождь».

Тогда = 1 будет обозначать ту же самую ситуацию, что и в предыдущем случае, т.е. отсутствие дождя.

Дизъюнкция. В нашем конкретном примере дизъюнкция двух высказываний и В, в принципе, может подразумевать и конъюнкцию этих же высказываний. Однако часто грамматический союз или не включает в себя союз и. Например,пусть будут даны два других высказывания:

P = «Петр находится в кинотеатре»

Q = «Петр находится в бассейне»

Если для нас не столь важно, где находится Петр, то мы, конечно, можем исполь­зовать союз или с включенным в него союзом и, формально записав:

Р v Q = «Петр находится в кинотеатре или/и в бассейне».

Но если нам нужно точно установить, где находится Петр, то мы обязаны исклю­чить случай одновременного присутствия Петра в кинотеатре и бассейне, т.е. формально записать:

Подобные высказывания называются строгой дизъюнкцией, которая означает «либо Р, либо Q , но не Р и Q одновременно». И хотя, с точки зрения логики Буля, эта логическая операция равносильна операции симметрической разности:

исторически сложилось так, что символ «+» в логике высказываний не использу­ется.

Конъюнкция. Логический союз и необязательно должен представляться через грамматический союз и. В частности, выше приведенное выражение можно про­читать несколько иначе:

= «На улице идет дождь, а над моей головой не раскрыт зонтик».

Союзы а и но по смыслу часто совпадают с союзом и, поэтому они используются в сложных конъюнктивных предложениях.

Однако языковая ситуация может стать такой, что союз и перестает играть роль конъюнкции; приведем два сложных предложения:

«Ему стало страшно и он убил человека»

«Он убил человека и ему стало страшно»

Здесь не коммутативность двух простых предложений очевидна, поскольку мы имеем дело со скрытой импликацией, когда одно простое предложение обуслов­ливает другое.

Импликация. Высказывание типа «если А, то В» носит объясняющий характер. Оно как бы разъясняет нам, почему имеет место событие В — потому что имело место событие А. Это свойство импликации особенно ценно для логики выска­зываний.

Объясняющий характер импликации тесно связан с причинно-следствен­ным отношением, при котором А выступает в роли причины, а В — следствия. Причинно-следственная связь между А и В грамматически может быть офор­млена предложениями: «А является достаточным основанием для В», «В , по­тому что А», «В при условии выполнения А» и т.д. Если под А и В понимать прежние высказывания, то результат причинно-следственного отношения можно оформить следующей таблицей истинности (табл. 1). Вторая строка таблицы говорит об отсутствии причинно-следственного отношения между событиями А и В.

Эквивалентность. Высказывание «А эквивалентно В» может быть с успехом заменено на «А равно В», «А тождественно В», «А равносильно В», «А тогда и то­лько тогда, когда В» и т.д. Так как эквивалентность выражается через конъюнк­цию двух импликаций:

то это отношение часто возникает при одновременном выполнении двух усло­вий: «из А следует В» и «из В следует А». Таким образом, при эквивалентности двух событий невозможно одному из них приписать роль только причины, а дру­гому — только следствия. Например, два события:

R = «Нарастание анархии в обществе»,

S = «Падение авторитета власти»,

являются вполне равнопорядковыми событиями, поскольку причиной нараста­ния анархии в обществе является падение авторитета власти; и наоборот, падение авторитета власти происходит из-за нарастания анархии в обществе. В данной си­туации бессмысленно обвинять только власть в слабости и некомпетентности или обвинять народ в несознательности и недисциплинированности.

События R и S образуют логический круг; их будем называть сильно связанны­ми событиями и выражать следующими тождественными формами:

Понятие «сильной связанности» совпадает с понятием «эквивалентности», если речь идет о двух событиях. Но возьмем, к примеру, хорошо известное объ­яснение, на чем держится Земля:

Земля (X) держится на трех китах (Y), киты (Y) держатся на водах океана (Z), океан (Z) держится на Земле (X).

Последовательность, куда входят три названных объекта X , Y и Z, тоже обра­зуют логический круг:

Однако отношение эквивалентности (быть взаимной опорой друг для друга) между всеми тремя объектами, т.е.

здесь не возникает, да и не могло возникнуть, так как мы ведь не утверждаем, что Земля является непосредственной опорой для китов (X ~ Y), или что киты являют­ся непосредственной опорой для вод океана (Y ~ Z). Поэтому эквивалентность в данном случае проявляется в весьма своеобразной форме:

что можно истолковать в случае операции эквивалентности как: одновременное появление всех трех опор произойдет тогда и только тогда, когда возникнет хотя бы одна из опор, и наоборот; для операции импликации: если возникнет ка­кая-нибудь одна из опор, то это приведет к появлению всех трех опор.

Таким об­разом, сильная связанность или логический круг есть нечто промежуточное между причинно-следственным отношением и отношением эквивалентности. Подобные отношения возникают очень часто, например, между членами преступной орга­низации, где все связаны круговой порукой, и невозможно найти крайнего.

3. В заключение этого вводного подраздела хотелось бы подчеркнуть важность различия между языком и метаязыком, между объектными и субъектными выска­зываниями. Пренебрегая этим различием, мы рискуем впасть в противоречие, которое называется логическим парадоксом.

С древних времен известен так называемый «Парадокс лжеца». Изложим его суть.

«Я лжец», — сказал лжец.

Итак, некий лжец сообщает о себе, что он лжец. Следовательно, здесь он вы­ступает в своем противоположном качестве, а именно — нелжеца. Поэтому при­веденное высказывание на самом деле нужно понимать иначе:

«Я лжец», — сказал нелжец. *

Теперь получается, что правдивый человек сообщает о себе, что он лжец. Прав­дивому человеку мы, естественно, должны верить. Поэтому второе высказывание следует понимать все-таки так, как это отражено в первом высказывании. Таким образом, возникает неопределенность, заключающаяся в том, что непонятно, как квалифицировать говорящего — как лжеца или как нелжеца, т.е. непонятно, как идентифицировать высказывание — как истинное или как ложное.

Парадокс возник потому, что в приведенных высказываниях не делается раз­граничения между двумя принципиально различными логическими уровнями. Помимо «лжеца» или «нелжеца» в данной логической ситуации участвует субъ­ект (метанаблюдатель). Если провести четкое синтаксическое отделение смыс­лового содержания, которое должно относиться к нам, как метанаблюдателям, от прочей семантики объектных персонажей, то логическое противоречие будет снято. Ситуацию с лжецом необходимо представлять следующим образом:

«Я лжец», — сказал лжец.

«Это истинно», — сказал метанаблюдатель.

«Я лжец», — сказал нелжец.

«Это ложно»,—сказал метанаблюдатель.

«Я нелжец», —сказал лжец.

«Это ложно», — сказал метанаблюдатель.

«Я нелжец», — сказал нелжец.

«Это истинно», — сказал метанаблюдатель.

ложно * ложно = истинно,

истинно * ложно = ложно,

ложно * истинно = ложно,

истинно * истинно = истинно.

Контрольные вопросы.

1. Что такое высказывание? Привести пример

2. Как образуется логическая связка «отрицание». Привести пример.

3. Как образуется логическая связка «дизъюнкция». Привести пример.

4. Как образуется логическая связка «конъюнкция». Привести пример.

5. Как образуется логическая связка «импликация». Привести пример.

6. Как образуется логическая связка «эквивалентность». Привести пример.

7. Какими союзами можно пользоваться в логике высказываний при описании «отрицания». Привести пример

8. Какими союзами можно пользоваться в логике высказываний при описании «отрицания». Какие имеются особенности в высказываниях. Привести пример

9. Какими союзами можно пользоваться в логике высказываний при описании «дизъюнкции». Какие имеются особенности в высказываниях. Привести пример

10. Какими союзами можно пользоваться в логике высказываний при описании «конъюнкции». Какие имеются особенности в высказываниях. Привести пример

11. Какими союзами можно пользоваться в логике высказываний при описании «импликации». Какие имеются особенности в высказываниях. Привести пример

12. Какими союзами можно пользоваться в логике высказываний при описании «эквивалентности». Какие имеются особенности в высказываниях. Привести пример

Лекция № 7

Тема: «Доказательства в логике высказываний»

План лекции

1. Различия в построении доказательств в логике высказываний и логике Буля.

2. Построение доказательств в логике высказываний

3. Методы доказательств в логике высказываний

1. Логика — это наука о способах доказательства. Выясним, в чем, собственно, со­стоит различие в построении доказательств в логике высказываний и логике Буля.

В булевой логике все доказательства строились на отношении эквивалентно­сти. Даже если во множественных выражениях и фигурировало отношение вклю­чения, что является частным случаем отношения порядка, то его мы переводили в тождество. Две логические функции считались эквивалентными, если они дава­ли на соответствующих наборах аргументов абсолютно одинаковые значения нулей и единиц. При использовании формальной записи логических выраже­ний отдельные звенья цепи любого доказательства там были связаны через сим­вол равенства «=». Отношение эквивалентности удовлетворяет трем законам

рефлексивности: А = А;

симметричности: если А = В , то В = А;

транзитивности: если А = В и В = С, то А = С.

В логике высказываний все доказательства строятся на отношении порядка, т.е. на отношении, которое существует между причиной и следствием. Здесь уже от­дельные звенья цепи доказательства связаны символом импликации. Однако символ импликации « → » при логическом выводе мы будем заменять на символ « => », подобно тому, как в логике Буля используются два символа эквивалентно­сти — « ~ » и « = ». Символ « ~ » является объектным, а « = » — субъектным. Таким образом, следует различать язык логики высказываний и метаязык исследовате­ля. Во избежание путаницы введем еще два метасимвола: вместо объектной конъ­юнкции « Λ » будем использовать субъектный символ метаконъюнкции — « , », а вместо объектной дизъюнкции « v » — субъектную метадизъюнкцию « ; ». Тогда утверждение, которое требуется доказать, в логике высказываний оформляется в виде следующего причинно-следственного отношения:

Р₁, Р₂, ...,Р_п => С, (1)

где Р_i — посылка (причина), С — заключение (следствие). Читается: «Если посылки Р_1; Р₂, ..., Р_п истинны, то заключение С тоже истинно» или, по-другому: «Если причины P₁, Р₂,..., Р_п имели место, то будет иметь место и следст­вие С».

Чтобы не спутать объектное высказывание (предложение) с субъектным выска­зыванием, справедливость которого мы намереваемся установить, условимся предложения типа (1) называть клаузой (clause).