Теорема Котельникова (теорема отсчётов)

Зададим непрерывный сигнал U(t) набором отсчётов: U_n = U(nΔ), где Δ — интервал дискретизации, 1/Δ — частота дискретизации (см. рис. 3.32).

Рис. 3.32. График функции U(t) и набор дискретных отсчётов U_n c интервалом дискретизации Δ.

Это – наивысшая гармоника или наивысшая частота сплошного спектра сигнала.

Тогда справедлива теорема Котельникова (приводится без доказательства):

Если спектр сигнала ограничен и верхняя частота спектра меньше

то по дискретному набору U_n можно точно восстановить исходный сигнал:

(3.54)

f_c – частота Найквиста. Подчеркнём, что размерность f_c – Гц.

В физическом эксперименте спектр любой функции всегда ограничен. Однако для математика функция, ограниченная по времени интервалом Т, имеет бесконечный спектр. В качестве примера можно привести формально неограниченный спектр прямоугольного сигнала, рассмотренный выше (см. рис. 3.11). На практике можно выбрать наивысшую частоту спектра f_c так, чтобы “хвосты” спектра (содержащие частоты выше f_с) содержали достаточно малую долю энергии сигнала. Величина малости определяется в каждом случае желаемой точностью воспроизведения сигнала.

Смысл теоремы в том, что наивысшая гармоника или наивысшая частота сплошного спектра сигнала должна быть задана двумя отсчётами.

Диоды

С точки зрения проводимости твёрдые вещества делятся на три категории: металлы, диэлектрики и полупроводники.

1. В металле есть свободные электроны, и поэтому их сопротивление мало.

2. В диэлектрике свободных электронов нет, все электроны распределены по атомам. Энергия отрыва (ионизации) электрона от атома велика. Естественным масштабом для оценки величины энергии ионизации является тепловая энергия, приходящаяся на колебательную степень свободы kТ ~ 4·10^–21 Дж = 0,03 эВ (k – постоянная Больцмана). Например, для алмаза энергия ионизации ε_АЛМАЗ ~ 5,4 эВ >> kТ.

3. В беспримесном полупроводнике электроны тоже распределены по атомам, но энергия ионизации меньше, например, для кремния Si ε_Si ~1,1 эВ, для галлия ε_Ga ~ 0,67 эВ. Поскольку энергия отрыва электрона от атома всё-таки значительно больше kТ, то сопротивление беспримесных полупроводников тоже довольно значительно.

4. Несобственный полупроводник – это полупроводник, легированный примесями, атомы которых легко “расстаются” с электронами или присоединяют их. Различают n-тип (например, донор мышьяк As в Si) и р-тип (например, акцептор индий In в Si). Концентрация примесей обычно лежит в пределах ~ 10¹⁴ ... 10¹⁷ см^-3. В 1 см³ Si порядка 0.5 10²³ атомов. Энергия отрыва (или присоединения) мала, например, ε_As ~ 0,01 ... 0,04 эВ ~ kТ.

N p

Рис. 4.1.

Кремний Si, легированный пятивалентным или трёхвалентным индием In

мышьяком As (проводимость n-типа) (проводимость p-типа).

В данном случае перенос заряда В данном случае перенос заряда

осуществляется электронами. осуществляется дырками.

От количества свободных носителей и их подвижности зависит проводимость вещества. В чистых полупроводниковых веществах количество свободных носителей малó. Это и определяет низкую проводимость (или высокое удельное сопротивление) чистых полупроводников. При наличии примесей удельная проводимость может сильно изменяться. Например, у чистого германия проводимость около 2 Ом^-1 м^-1. При введении в германий всего 10^-5 примеси мышьяка, удельная проводимость увеличивается до 2·10⁴ Ом^-1 м^-1.

На использовании несобственных (легированных) полупроводников основана большая часть современной электроники. Простейший прибор из этого класса – полупроводниковый диод, с которого мы и начнём рассмотрение.