Упругая линия балки

Изогнутая под действием нагрузок ось балки представляет собой плавную кривую, которая называется упругой линией. Деформация балки при изгибе характеризуется п р о г и б о м у и углом пово­рота поперечного с е ч е н и я, который равен углу а наклона ка­сательной к упругой линии по отношению к оси z балки. Уравнения про­гибов и углов поворота сечений в общем виде записываются так:

Из математики известно, что радиус кривизны кривой у = f₁(z) в любой точке определяется по формуле

Ввиду малости деформаций (у)² пренебрегаем (так как эта величина значительно меньше единицы), тогда

Ранеемы вывели формулу ; подставляя в нее приближенное

значение радиуса кривизны, получим дифференциальное уравнение упру­гой линии балки:

Чтобы получить уравнение = f₂(z), углов поворота сечений, надо это уравнение проинтегрировать один раз, причем ввиду малости дефор­маций будем считать, что

Для получения уравнения прогибов у = f₁(z), надо дифференциаль­ное уравнение проинтегрировать дважды.

Рассмотрим балку постоянного сечения, нагруженную моментом те, сосредоточенной силой F и равномерно распределенной нагрузкой q,дающими положительные изгибающие моменты (рис. 23.23).

Начало координат возьмем на левом конце балки, ось у направим вверх, а ось z — вправо. Рассматриваемая балка имеет пять участков, ка­ждому из которых соответствует свое уравнение моментов, уравнение прогибов и уравнение углов поворота сечений. Обратим внимание на то,

что упругая линия балки есть плавная кривая, следовательно, на грани­цах участков значения углов поворота сечения и прогибов, вычис­ленных из уравнений соседних участков, будут совпадать. Интегрирование дифференциальных уравнений будем произ-

водить, не раскрывая скобок в уравнениях моментов, что сказывается лишь на значениях произвольных постоянных. 1-й участок:

2-й участок:

Подставив в уравнения первого и второго участков значение z = a,получим

3-й участок:

4-й участок:

Так как на границах смежных участков справедливы уравнения и предыдущего и последующего участков, то

Обозначив ₀угол поворота сечения в начале координат (в радиа­нах), а у₀— прогиб в начале координат, при z = 0 получим

Так как каждой отдельной нагрузке в уравнениях соответствует от­дельное слагаемое, в общем виде можно записать такие уравнения:

— обобщенное уравнение углов поворота сечений;

—обобщенное уравнение прогибов.

Если равномерно распределенная нагрузка заканчивается не в конце балки, то эту нагрузку следует мысленно продолжить до конца и доба­вить противоположно направленную нагрузку такой же интенсивности (рис. 23.23, участок 5). При этом в обобщенные уравнения углов поворота и прогибов добавится еще по одному слагаемому с отрицательным зна­ком, соответственно:

Знаки слагаемых в обобщенных уравнениях устанавливают по п р а -вилу знаков для изгибающих моментов.

Положительное значение у обозначает прогиб вверх, и наоборот; по­ложительное значение а означает поворот сечения против часовой стрел­ки, и наоборот.

При пользовании обобщенными уравнениями следует помнить, что:

1) для балки, жестко защемленной левым концом,

2) для балки, левый конец которой лежит на опоре,

для определения а₀ следует составить уравнение прогибов для второй опоры и приравнять его нулю;

3) в сечении с максимальным прогибом угол поворота сечения = 0, так как в этой точке упругой линии касательная параллельна оси г.

Помимо расчетов на прочность балки нередко проверяют или рас­считывают на жесткость. Условие жесткости заключается в том, что максимальный прогиб (стрела прогиба f) или максимальный угол поворо­та не должны превышать допускаемых величин. Расчетные уравнения на жесткость имеют вид:

Допускаемую величину прогиба обычно задают в долях длины про­лета l, например, для мостов [f]= Допускаемый угол поворота сечения задают в долях радиана.

Пример 23.8. Определить прогиб у_B свободного конца консольной балки АВ,изгибаемой сосредоточенной силой F (рис. 23.24.).

Решение. Реакция R_A и момент защемления т_А соответственно равны:

R_A=F, m_A=Fl.

Учитывая, что y₀= 0, d₀= 0, из обобщенного уравнения прогибов нахо­дим

EIy_B=R_Al³/6-m_Al²/2.

Подставив значения R_A и т_А,получим

Пример 23.9. Определить максимальный прогиб и углы поворота сечений на опорах балки, показанной на рис.23.25.

Решение. В силу симметрии балки реакции опор равны

Поместим начало координат на левой опоре, тогда у₀ = 0. Для определения Оо используем условие, что при z = l у_в = 0.

откуда ₀ = -ql³/(24EI).Очевидно, что _B = - ₀.

Наибольшие углы поворота имеют опорные сечения.

Максимальный прогиб находится посередине пролета балки, т. е. при z = l/2. Тогда:

Следовательно,

Пример 23.10. Определить максимальный прогиб и угол поворота на опорах балки, нагруженной посередине пролета сосредоточенной силой (рис.23.26).

Решение.Реакции рав­ны F/2каждая и направ­лены снизу вверх.

Помещаем начало ко­ординат на левой опоре, тогда у₀= 0.

Для определения ис­пользуем условие, что при z = l прогиб равен нулю (y_B = 0):

откуда

Следовательно,

Ввиду симметрии угол поворота на правой опоре

Максимальный прогиб будет при z = l/2,тогда

следовательно,

Окончательно

Балки равного сопротивления изгибу.При изгибе балок постоян­ного сечения (за исключением случая чистого изгиба) все сечения, кроме опасного, имеют излишний запас прочности, что свидетельствует о нера­циональном использовании материала. Наиболее рациональной будет такая форма балки, при которой напряжения во всех поперечных сечениях будут равны допускаемому. Такие балки называются балками рав­ного сопротивления изгибу.

Рассмотрим произвольное сечение балки равного сопротивления из­гибу. Обозначим действующий в этом сечении изгибающий момент ,а момент сопротивления .Тогда должно выполняться условие

Отсюда следует, что в балках равного сопротивления изгибу момен­ты сопротивления сечений должны быть прямо пропорциональны изги­бающим моментам:

Изготовление балок равного сопротивления сложно в технологичес­ком отношении, поэтому применение их ограничено.

Рассмотрим пример, иллюстрирующий теорию балок равного сопро­тивления изгибу.

Пусть балка АВ прямоугольного сечения жестко защемлена одним концом, а к другому концу ее приложена сосредоточенная сила F,как показано на рис. 23.27, а.При условии равного сопротивления изгибу по всей длине установим: 1) как должна меняться высота h балки при посто­янной ширине b;2) как должна меняться ширина балки при постоянной высоте.

1. Ширина балки постоянна. Изгибающий момент в произвольном сечении, отстоящем на расстоянии г от свободного конца,

Соответствующий момент сопротивления

Здесь b = const, a y — меняется.

Максимальный изгибающий момент будет в защемлении:

Момент сопротивления изгибу в защемлении

Запишем условие пропорциональности изгибающих моментов и мо­ментов сопротивления изгибу:

Это уравнение параболы. Заметим, что объем такой балки равного сопротивления изгибу будет составлять ²/₃ объема балки постоянного се­чения

b h,что дает экономию материала в 33% (рис. 23.27, б).

2. Высота балки постоянна.Обозначим переменную ширину х, ширину балки в защемлении b, высоту балки h.Как и в предыдущем случае, запишем

Из этого соотношения видно, что ширина балки изменяется по ли­нейному закону. Подобная балка изображена на рис. 23.27, б.По сравне­нию с призматической балкой постоянного сечения экономия материала достигает 50%.

Сравним прогибы балок постоянного сечения и равного сопротивле­ния изгибу при одинаковой прочности и прочих равных условиях.

Формула для вычисления прогиба свободного конца балки равного сопротивления изгибу (без вывода)

приходим к выводу, что наибольший прогиб балки равного сопротивле­ния изгибу в 1,5 раза превосходит прогиб балки постоянного сечения.

Свойство балок равного сопротивления изгибу (с постоянной высо­той) деформироваться значительно больше балок постоянного сечения (при тех же нагрузках и допускаемых напряжениях) используется в слу­чаях, когда необходимо смягчить действие нагрузки, изменяющейся с течением времени, или ударной нагрузки. В частности, листовые рессо­ры, широко применяющиеся на транспорте (вагоны, автомашины), пред­ставляют собой разрезанные на полосы и сложенные стопкой балки рав­ного сопротивления изгибу.

Косой изгиб

До настоящего параграфа мы рассматривали прямой изгиб балок, при котором все нагрузки действовали в одной плоскости, проходящей через одну из главных осей сечения. При таком изгибе деформация оси балки происходит в плоскости действия нагрузок.

Изгиб, при котором плоскость действия нагрузок не совпадает ни с одной из главных осей сечения, называется косым.

Рассмотрим консольную балку длиной l прямоугольного сечения, к концу которой приложена сила F,составляющая с осью у угол (рис. 23.28, а).Разложим силу F на две составляющие, направленные по глав­ным осям сечения, и, пользуясь принципом независимости действия сил, сведем косой изгиб к прямым изгибам в двух взаимно перпендикулярных

плоскостях. Очевидно, что опасное сечение будет нахо­диться в заделке и макси­мальные изгибающие мо­менты таковы:

Соответствующие этим изгибающим моментам нор­мальные напряжения в ка­кой-то точке А опасного сечения вычисляют по фор­мулам

где х, у — текущие коорди­наты точки А; I_x, I_у — моменты инерции относительно главных осей.

Суммарное нормальное напряжение в точке А

Если заштриховать в разные стороны части сечения, где будут дей­ствовать только напряжения растяжения _1и и _2и, то увидим, что в зоне, заштрихованной в клетку, будут действовать суммарные напряжения рас­тяжения, а в незаштрихованной — суммарные напряжения сжатия (рис. 23.28, б).Очевидно, что максимальное напряжение растяжения возникает в точке D,а максимальное напряжение сжатия в точке Е опасного сече­ния. Эпюры нормальных напряжений показаны на том же рисунке.

Так как на нейтральной оси _А = 0, то ее уравнение имеет вид

где х, у — текущие координаты точек нейтральной оси.

Из уравнения видно, что нейтральная ось есть прямая линия, прохо­дящая через начало координат, т. е. через центр тяжести сечения балки. Определим угол который нейтральная ось составляет с осью х:

Из этого равенства видно, что если I_x I_уто и нейтральная ось не перпендикулярна линии действия силы F.

Пользуясь принципом независимости действия сил, определим на­правление прогиба балки под действием силы F. Прогиб f_x в направлении оси хравен

Обозначив угол между направлением суммарного прогиба и осью х, получим

Сравнивая это выражение с формулой для определения tg , видим, что ctg и tg отличаются только знаком, следовательно, сами углы раз­нятся на 90° и суммарный прогиб балки происходит в плоскости, перпен­дикулярной нейтральной оси. Отсюда вытекает, что при косом изгибе плоскость прогиба не совпадает с плоскостью действия нагрузок.

Глава 24