И изгибающих моментов

Для наглядного изображения распределения вдоль оси балки попе­речных сил и изгибающих моментов строят эпюры, которые дают воз­можность определить предположительно опасное сечение балки и установить значения поперечной силы и изгибающего момента в этом сечении.

Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов можно строить двумя способами.

Первый способ заключается в том, что сначала составляют аналити­ческие выражения поперечных сил и изгибающих моментов для каждого участка как функций текущей координаты z поперечного сечения:

Затем по полученным уравнениям строят эпюры.

Второй способ заключается в построении эпюр по характерным точкам и значениям поперечных сил и изгибающих моментов на границах участков. Применяя этот способ, в большинстве случаев можно обойтись без составления уравнений поперечных сил и изгибающих моментов. При наличии некоторого опыта второй способ предпочтительнее.

При построении эпюр следует руководствоваться приведенными ни­же правилами:

1. Эпюру моментов строят на сжатом волокне,т. е. положительные моменты (и положительные поперечные силы) откладывают вверх от оси, а отрицательные — вниз.

2. Пользуясь принципом смягченных граничных условий, будем по­лагать, что в сечении, где приложена сосредоточенная сила, значение по­перечной силы меняется скачкообразно,причем скачок равен модулю этой силы.

3. На том же основании будем полагать, что в сечении, где приложе­на пара сил (момент), значение изгибающего момента меняется скачко­образно, причем скачок равен моменту пары.

4. Правильность построения эпюр следует проверять с помощью
теоремы Журавского.

где — угол, который составляет касательная к эпюре моментов с поло­жительным направлением оси z.Согласно теореме Журавского,

Как известно из математики, если М_и = f (z), то

(масштабы М_и и z полагаем численно равными единице), следовательно, если угол а острый, то Q > 0 и изгибающий момент на участке возраста­ет; если угол а тупой, то Q < 0 и изгибающий момент на участке убыва­ет; если а = 0 на всем участке, то М_и = const, Q = 0 и на этом участке возникает чистый изгиб; если а = 0 в одной точке эпюры моментов, то в этом сечении Q = 0, а изгибающий момент имеет экстремальное (макси­мальное или минимальное) значение. В сечении, где на эпюре попереч­ных сил имеется скачок, на эпюре изгибающих моментов будет резкое изменение направления касательной.

Чтобы правила знаков для изгибающих моментов и поперечных сил не противоречили знакам, полученным на основании теоремы Журавско-

го, при проверке эпюр следует ось z мысленно всегда направлять слева направо.

5. На участке, где нет распределенной нагрузки, эпюра моментов, вообще говоря, представляет собой наклонную прямую, а эпюра попереч­ных сил — прямую, параллельную оси.

6. На участке, где приложена равномерно распределенная нагрузка, эпюра моментов представляет собой параболу, а эпюра поперечных сил — наклонную прямую.

7. На конце балки изгибающий момент равен нулю, если там не при­ложена пара сил.

8. При построении эпюры для консольных балок начало координат удобно брать на конце консоли, что нередко дает возможность обойтись без определения опорных реакций. В сечении, соответствующем заделке, поперечная сила равна реактивной силе, а изгибающий момент — реак­тивному моменту.

Пример 23.1. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для балки, шарнирно закрепленной двумя концами и нагруженной сосредоточен­ной силой (рис. 23.8).

Решение. Начало координат поместим на левом конце балки, а ось направим вправо. Данная балка состоит из двух участков.

Определим опорные реакции R_Aи R_В> составив уравнения моментов относи­тельно опор А и В:

Проверим правильность определения реакций, составив уравнение проекций наось y:

Полученное тождество 0 = 0 говорит о том, что реакции опре­делены правильно.

Приступаем к построению эпюр, применяя для этого метод сечений.

Построение эпюры поперечных сил. На пер­вом участке поперечная сила Q₁ положительна, постоянна и равна R_А, так как слева о сечения 1—1 других сил нет.

(то же получим, если рассмотрим часть балки, расположенную справа от сечения 2—2).

В точке приложения сосредоточенной силы F эпюра Q имеет скачок, чис­ленно равный F.

Вид эпюры Q показан на рис.23.8.

Построение эпюры изгибающих моментов. В сечении 1—1 на первом участке изгибающий момент равен М_1и = R_А z, причем z изменяется от 0 до а.Поскольку z входит в это уравнение в первой степени, эпюра моментов будет представлять собой прямую линию.

Для построения эпюры М_1и достаточно найти значения моментов на грани­цах участка, т.е. при z = 0 и z = а:

при z= 0 М_1и=0; при z = а М_1и =Fba/l.

Для определения изгибающего момента в сечении 2 — 2 проще рассмотреть правую часть балки, на которую действует одна сила:

причем z меняется от а до l.

Эпюра моментов на втором участке также будет изображаться прямой линией. Найдем значения изгибающего момента на границах участка:

при z = а М_1и= Fa(l - а)/l= Fab/l;

при z = l M_2и = Fa(l - l)/l = 0.

По полученным значениям строим эпюру М _и.Наибольшее значение М_и бу­дет иметь в сечении, где приложена сила F.

М_{и max} = Fab/l.

Это сечение будет предположи­тельно опасным.

В частном случае, когда сила F приложена в середине балки,

а=b = l/2 и М_{и max} =Fl/4.

Пример 23.2. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих мо­ментов для балки, шарнирно закреп­ленной двумя концами и нагруженной парой сил с моментом т (рис. 23.9).

Решение. Выберем начало коор­динат на левой опоре, а ось z напра­вим вправо. Балка имеет два участка. Так как пару сил можно уравновесить только парой, то

Построение эпюры поперечных сил. Для всех сечений пер­вого и второго участков поперечная сила Q будет постоянна, отрицательна и равна Q = R_A = - т/1. Следовательно, эпюра будет прямой линией, параллельной оси.

Построение эпюры изгибающих моментов. На первом участке М_1и= - R_A z, причем z меняется от 0 до а:

при z = 0 М_1и = 0;

при z = а М_1и= -R_Aa = -та/l.

На втором участке М_2и = -R_A z + т,причем z меняется от а до l:

при z= а М_2и =- R_A a +m= -ma/l + m = mb/1;

при z = l М_2и = -R_A l+m= - (m/J)/l + m = 0.

Эпюру М_ичасто можно построить не составляя уравнений по значениям М_и на границах участков.

Пользуясь ранее приведенными правилами, устанавливаем, что на концах балки М_и = 0; в сечениях, бесконечно близких к паре сил слева и справа от нее, изгибающий момент будет

В точке приложения пары сил эпюра М_иимеет «скачок», величина которого равна моменту пары.

Построенная по найденным значениям эпюра М_ипоказана на рис.23.9. Заме­тим, что на основании теоремы Журавского

следовательно, наклонные линии эпюры М_ина обоих участках должны быть па­раллельны между собой.

Полагая b > а,находим наибольшее значение изгибающего момента:

В частном случае, когда внеш­ний момент т приложен в середине пролета балки,

а = b = l/2 и М_{и max} = + т/2 .

Пример 23.3.Построить эпюры поперечных сил и изгибающих мо­ментов для балки, свободно лежащей на двух опорах и нагруженной равно­мерно распределенной нагрузкой интенсивности q (рис.23.10).

Решение.В силу симметрично­сти распределения нагрузки по всей длине балки опорные реакции равны между собой:

Поскольку z входит в это уравнение в первой степени (линейная зависи­мость), то эпюра Q будет прямолинейной. Для построения эпюры достаточно значений поперечной силы в двух точках:

при z = 0 Q = ql/2;

при z = l Q= ql/2-ql= -ql/2.

Эпюра Q показана на рис. 23.10.

Построение эпюры изгибающих моментов. Выражение для изгибающего момента в любом сечении балки имеет вид

Очевидно, что при z = l М_и = 0.

По найденным значениям строим эпюру М_и,как показано на рис. 23.10.

Поскольку вторая производная

т. е. меньше нуля, то эпюра М_и будет расположена выпуклостью вверх.

Согласно теореме Журавского максимальное значение изгибающего момен­та будет в середине пролета балки, где Q = = 0

Пример 23.4. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для консольной балки АС,свободно лежащей на двух опорах и нагруженной рав­номерно распределенной нагрузкой интенсивности q = 200 Н м, как показано на рис. 23.11.

Решение. Определим реакции R_Аи R_В:

Переходим к построению эпюры Q.Балка имеет два участка.

На первом участке поперечная сила Q₁ = R_А- qz,причем z меняется от 0 до 4 м

при z = 0 Q₁= R_А = 300Н;

при z= 4м Q₁ = 300-200 4 =

= 300 - 800 = -500 Н.

Для упрощения построения эпюры Q на втором участке возьмем начало координат в точке С и направим ось z влево, тогда Q₂= qz,причем z меняется от 0 до 2 м

при z = 0 Q₂ = 0;

при z = 2м Q₂= 200 2 = 400Н.

На границе участков в точке В эпюра Q имеет «скачок», равный по величине опорной реакции R_в ⁼ 900 Н.

Найдем точку оси, в которой Q = 0. Для этого запишем

На основании теоремы Журавского можно ожидать в этой точке экстремальное значение изгибающего момента. Переходим к построению эпюры М_и. На первом участке выражение для изгибающего момента имеет вид

Эпюра М_ибудет представлять собой параболу. Вычислим значения М_1ив трех точках:

при z = 0 М_1и= 0;

при z = 1,5 м М_1и= 300 1,5 -200 1,5²/2 = 450 - 225 = 225 Нм; при z = 4м М_1и= 300 4-200 4²/2 = 1200-1600 = -400Нм. Для второго участка, взяв за начало координат точку С, получим

Вычислим М_2ина границах участка:

при z = 0 М_2и = 0;

при z = 2м М_2и= -200 2²/2 = -400Н м.

По найденным значениям строим эпюру М_и.

эпюра М_ина обоих участках

будет направлена выпуклостью вверх.

Из построенных эпюр видно, что опасным будет сечение балки на опоре В.