При растяжении и сжатии

Растяжением или сжатием называется такой вид деформа­ции, при котором в любом поперечном сечении бруса возникает только продольная сила. Брусья с прямолинейной осью (прямые брусья), рабо­тающие на растяжение или сжатие, часто называют стержнями.

Рассмотрим невесомый, защемленный левым концом прямой брус, вдоль оси которого действуют активные силы F и 2F(рис. 19.1).

Части бруса постоянного сечения, заключенные между поперечными плоскостями, в которых приложены активные или реактивные силы, бу­дем называть участка-ми. Изображенный на рис. 19.1 брус состоит из двух участков.

Применив метод сече­ний, определим продоль­ные силы N₁и N₂на уча­стках. Рассечем брус на первом участке попереч­ным сечением 1—1.Во всех точках бруса будут

действовать внутренние распределенные силы, равнодействующая кото­рых определится из условия равновесия одной из частей бруса (например, правой от сечения):

откуда

Мы видим, что для равновесия оставленной части бруса в сечении

1—1необходимо приложить только силу N_1,направленную вдоль оси, т. е. продольную силу.

Продольная сила есть равнодействующая внутренних нормальных сил, возникающих в поперечном сечении бруса. Нетрудно понять, что в сечении 2—2 на втором участке продольная сила будет иметь другое значение: N₂ = 2F.Таким образом, продольная сила в поперечном сечении бруса чис­ленно равна алгебраической сумме внешних сил, расположенных по одну сторону сечения (имеется в виду, что все силы направлены вдоль оси бруса).

Очевидно, что в пределах одного участка продольная сила будет иметь постоянное значение. Следует помнить, что, рассматривая равно­весие части бруса, расположенной не справа, а слева от сечения, мы должны были ввести в уравнение равновесия реакцию защемленного конца, определенную путем рассмотрения равновесия всего бруса.

В дальнейшем растягивающие (направленные от сечения) продоль­ные силы мы будем считать положительными, а сжимающие (направ­ленные к сечению) — отрицательными.

Иначе говоря, если равнодействующая внешних сил, приложенных к левой части бруса, направлена налево, а приложенных к правой части — вправо, то продольная сила в данном сечении будет по­ложительной,и наоборот.

При изучении ряда деформаций мы будем мысленно представлять себе брусья состоящими из бесчисленного количества волокон, парал­лельных оси, и предполагать, что при деформации растяжения и сжатия волокна не надавливают друг на друга (это предположение называется гипотезой о ненадавливании волокон).

Если изготовить прямой брус из резины (для большей наглядности), нанести на его поверхности сетку продольных и поперечных линий и подвергнуть брус деформации растяжения, то можно отметить следую­щее: 1) поперечные линии останутся в плоскостях, перпендикулярных оси, а расстояния между ними увеличатся; 2) продольные линии останут­ся прямыми, а расстояния между ними уменьшатся.

Из этого опыта можно сделать вывод, что при растяжении справед­лива гипотеза плоских сечений и, следовательно, все волокна бруса удлиняются на одну и ту же величину.

Все сказанное выше позволяет сделать вывод, что при растяжении и сжатии в поперечных сечениях бруса возникают только нормальные на­пряжения, равномерно распределенные по сечению и вычисляемые по формуле

где N— продольная сила; А — площадь поперечного сечения. Очевидно, что при растяжении и сжатии форма сечения на напряжение не влияет.

В сечениях, близких к точкам приложения растягивающих или сжи­мающих сил, закон распределения напряжений по сечению будет более сложным, но пользуясь принципом смягченных граничных условий, мы будем этими отклонениями пренебрегать и считать, что во всех сечениях бруса напряжения распределены равномерно и что в сечении, где к брусу приложена вдоль оси сосредоточенная сила, значения продольной силы и напряжений меняются скачкообразно.

Для наглядного изображения распределения вдоль оси бруса про­дольных сил и нормальных напряжений строят графики, называемые эпюрами, причем для нормальных напряжений применяется то же пра­вило знаков, что и для продольных сил.

Пример 19.1.Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений для ступенчатого бруса, изображенного на рис. 19.2.

Решение. Разобьем брус на три участка. Границами участков являются сече­ния, в которых приложены внешние силы, и места изменения размеров попереч­ного сечения.

Для построения эпюры продольных сил N под рисунком бруса проводим ось эпюры, параллельную оси бруса. Величины продольных сил в произвольном масштабе откладываем перпендикулярно оси эпюры, причем положительные значения N (растяжение) откладываются вверх, а отрицательные (сжатие) — вниз от оси. Эпюру отштриховывают, как показано на рисунке. В точках прило­жения сил на эпюре N получаются скачкообразные изменения, причем величина «скачка» равна модулю приложенной в сечении бруса силы.

Применяя метод сечений, уста­навливаем, что во всех поперечных сечениях первого и второго участков действует продольная сила N₁ = -2F = N₂.Откладываем вниз от оси эпюры величину 2F в произвольном мас­штабе и проводим прямую, парал­лельную оси эпюры. В сечении С бруса приложена сила 3F.Применяя метод сечений, устанавливаем, что во всех поперечных сечениях третьего

участка действует продольная сила N₃ = F. Очевидно, что значение орди­наты эпюры продольных сил под заделкой равно реакции заделки. От­метим, что применяя метод сечений, выгоднее рассматривать равновесие части бруса, расположенной со сто­роны его свободного конца, в про­тивном случае необходимо заранее определять и вводить в уравнение равновесия реакцию заделки.

Для построения эпюры а определим нормальные напряжения на участках бруса. Тогда на первом участке нормальные напряжения будут ₁= -2F/2A = -F/A,на втором ₂ =-2F/A, на третьем ₃=F/A. Правила построения эпюры а те же, что и для эпюры N.

Для расчетов на прочность особый интерес представляют те сечения бруса, в которых напряжения являются по абсолютному значению максимальными. Эти сечения являются предположительно опасными. В нашем примере такими будут сечения бруса на втором участке.

Перейдем к рассмотрению деформаций. Представим себе прямой брус постоянного поперечного сечения А,длиной l, жестко защемленный одним концом и нагруженный на другом конце растягивающей силой F (рис. 19.3). Под действием этой силы брус удлинится на некоторую вели­чину l, которую назовем абсолютным удлинением. Отношение абсолютного удлинения l к первоначальной длине l назовем относи­тельным удлинением и обозначим :

Относительное удлинение — число отвлеченное, иногда его выра­жают в процентах:

Вследствие деформации поперечные сечения бруса перемещаются в направлении оси. Взаимное перемещение двух сечений равно изменению длины части бруса, заключенной между этими сечениями.

Итак, деформация бруса при растяжении и сжатии характеризуется абсолютным и относительным удлинением или укорочением.