Метод сечений. Напряжение

Для расчетов деталей машин и сооружений на прочность необходи­мо знать внутренние силы упругости, возникающие в результате действия приложенных к деталям внешних сил.

В теоретической механике мы познакомились с понятием метода се­чений. Этот метод широко применяется в сопротивлении материалов для определения внутренних сил, поэтому рассмотрим его подробно. Напом­ним, что всякое тело, в том числе деталь машины или сооружения, можно полагать системой материальных точек.

В теоретической механике мы имели дело с неизменяемыми систе­мами; в сопротивлении материалов рассматриваются изменяемые (де­формируемые) системы материальных точек.

Метод сечений заключается в том, что тело мысленно рассекается плоскостью на две части, любая из которых отбрасывается и взамен нее к сечению оставшейся части прикладываются внутренние силы, действовавшие до разреза; оставленная часть рассматривается как самостоятельное тело, находящееся в равновесии под действием внеш­них и приложенных к сечению внутренних сил.

Очевидно, что, согласно третьему закону Ньютона (аксиома взаимо­действия), внутренние силы, действующие в сечении оставшейся и от­брошенной частей тела, равны по модулю, но противоположны по на­правлению. Таким образом, рассматривая равновесие любой из двух час­тей рассеченного тела, мы получим одно и то же значение внутренних сил, однако выгоднее рассматривать ту часть тела, для которой уравнения равновесия проще.

В соответствии с при­нятым допущением о не­прерывности материала те­ла мы можем утверждать, что внутренние силы, воз­никающие в теле, пред­ставляют собой силы, рав­номерно или неравномер­но распределенные по се­чению.

Применяя к оставлен­ной части тела условия равновесия, мы не сможем найти закон распределения внутренних сил по сечению, но сможем определить статические эквиваленты этих сил.

Так как основным расчетным объектом в сопротивлении материалов является брус и чаще всего нас будут интересовать внутренние силы в его поперечном сечении, то рассмотрим, каковы будут статические эквиваленты внутренних сил в поперечном сечении бруса. Рассечем брус (рис. 18.3) попе­речным сечением а—а и рассмотрим равновесие его левой части.

Если внешние силы, действующие на брус, лежат в одной плоскости, то в общем случае статическим эквивалентом внутренних сил, действую­щих в сечении а—а,будут главный вектор F_гл, приложенный в центре тяжести сечения, иглавный момент М_гл = М_и, уравновеши­вающие плоскую систему внешних сил, приложенных к оставленной час­ти бруса.

Разложим главный вектор на составляющую N, направленную вдоль оси бруса, и составляющую Q, перпендикулярную этой оси, т. е. лежа­щую в плоскости поперечного сечения.

Эти составляющие главного вектора вместе с главным моментом на­зовем внутренними силовыми факторами, действующими в сечении бру­са. Составляющую N назовем продольной силой, составляющую Q — по­перечной силой, пару сил с моментом М_и— изгибающим моментом.

Для определения указанных трех внутренних силовых факторов ста­тика дает три уравнения равновесия оставленной части бруса, а именно:

(ось z всегда направляем по оси бруса).

Если внешние силы, действующие на брус, не лежат в одной плоско­сти, т. е. представляют собой пространственную систему сил, то в общем случае в поперечном сечении бруса возникают шесть внутренних сило-

Шесть внутренних силовых факторов, возникающих в попе­речном сечении бруса в самом общем случае, носят следующие названия: N— продольная сила, Q_x, Q_y — поперечные силы, М_к— крутящий момент, М_их, М_иу— изгибающие мо­менты.

При разных деформациях в поперечном сечении бруса возникают различные внутренние силовые факторы. Рассмотрим частные случаи:

1. В сечении возникает только продольная сила N.В этом случае это деформация растяжения (если сила N направлена от сечения) или деформация сжатия (если сила N направлена к сечению).

2. В сечении возникает только поперечная сила Q.В этом случае это деформация сдвига.

3. В сечении возникает только крутящий момент М_к.В этом случае это деформация кручения.

4. В сечении возникает только изгибающий момент М_и.В этом слу­чае это деформация чистого изгиба. Если в сечении одновременно возникает изгибающий момент М_и и поперечная сила Q,то изгиб назы­вают поперечным.

5. Если в сечении одновременно возникает несколько внутренних си­ловых факторов (например, изгибающий и крутящий моменты или изги­бающий момент и продольная сила), то в этих случаях имеет место со­четание основных деформаций (сложное сопротив­ление).

Наряду с понятием деформации одним из основных понятий сопро­тивления материалов является напряжение. Напряжение характери­зует интенсивность внутренних сил, действующих в сечении.

Рассмотрим какой-либо произвольно нагруженный брус и применим к нему метод сечений (рис. 18.5). Выделим в сечении бесконечно малый элемент площади dA (что мы имеем право делать, так как считаем мате­риал непрерывным). Ввиду малости этого элемента можно считать, что в его пределах внутренние силы, приложенные в различных точках, одина-

ковы по модулю и направле­нию и, следовательно, пред­ставляют собой систему парал­лельных сил. Равнодействую­щую этой системы обозначим dF. Разделив dF на площадь элементарной площадки dА,определим интенсивность внут­ренних сил, т. е. напряжение р в точках элементарной пло­щадки dА:

Таким образом, напряжение есть внутренняя сила, отнесенная к единице площади сечения. Напряжение есть величина векторная. Единица напряжения:

Числовые значения напряжения, выраженного в МПа и Н/мм², сов­падают.

Разложим вектор напряжения р на две составляющие: — перпен­дикулярную плоскости сечения и —лежащую в плоскости сечения (см. рис. 18.5). Эти составляющие назовем так: — нормальное напряжение, — касательное напряжение.

Так как угол между нормальным и касательным напряжениями все­гда равен 90°, то модуль полного напряжения р определится по формуле

Разложение полного напряжения на нормальное и касательное имеет вполне определенный физический смысл. Как мы убедимся в дальней­шем, в поперечном сечении бруса при растяжении, сжатии и чистом изги­бе действуют только нормальные напряжения, а при сдвиге и кручении — только касательные напряжения.

В заключение настоящей главы рассмотрим гипотезу, которая назы­вается принципом независимости действия сил и фор­мулируется так: при действии на тело нескольких нагрузок внутренние силы, напряжения, перемещения и деформации в любом месте могут

быть определены как сумма этих величин, найденных от каждой нагруз­ки в отдельности.

Пользуясь принципом независимости действия сил, мы, начав с изу­чения простейших основных деформаций, когда в поперечных сечениях бруса действуют только нормальные или только касательные напряжения, в дальнейшем перейдем к изучению более сложных основных деформа­ций, когда в поперечном сечении действуют и те и другие напряжения, а затем рассмотрим случаи сочетания основных деформаций, что иногда называют сложным сопротивлением.

Заметим, что принцип независимости действия сил применим только для конструкций, деформации которых малы по сравнению с размерами и пропорциональны действующим нагрузкам.

Глава 19