Принцип независимости действия сил.

Дифференциальные уравнения движения

Материальной точки

Принцип независимости действия сил формулируется так: при одно­временном действии на материальную точку нескольких сил ее ускоре­ние равно векторной сумме ускорений, которые эта точка получила бы от действия каждой силы в отдельности.

Пусть к материальной точке А приложены силы F₁и F₂, равнодейст­вующая которых равна F. На основании аксиомы параллелограмма запи­шем

Разделим обе части равенства на массу точки, получим

откуда

Применяя последовательно аксиому параллелограмма, можно ска­зать, что при одновременном действии на материальную точку несколь­ких сил ее ускорение будет таким, как если бы действовала одна равно­действующая сила

Пользуясь принципом независимости действия сил, выведем уравне­ние движения материальной точки в дифференциальной форме.

Пусть материальная точка А массой т движется в плоскости чертежа под действием силы F = F_i с ускорением а, тогда

Спроецируем это векторное равенство на две взаимно перпендику­лярные оси координат х и у (оси и вектор силы F лежат в одной плоско­сти) и получим уравнения плоского движения матери­альной точки в координатной форме:

Применяя теорему о проекции ускорения на координатную ось, можно эти уравнения записать в виде дифференциальных уравнений плоского движения материальной точки:

В этих уравнениях X, Y — алгебраические суммы проекций сил,

действующих на точку, на соответствующие координатные оси; х и у — текущие координаты точки.

С помощью выведенных в этом параграфе уравнений решаются две основные задачи динамики: 1) по заданному движению точки определить действующие на нее силы; 2) зная действующие на точ­ку силы, определить ее движение.

В тех случаях, когда при решении задач имеем дело с несвободной материальной точкой, необходимо применять принцип освобождаемости, т. е. отбросить связи и заменить их реакциями, учитывая последние в уравне­ниях движения наравне с действующими на точку активными силами.

Пример 13.1.Движение тела массой 0,5 кг выражается уравнениями

где х и у — в сантиметрах, t—в секундах. Определить силу, действующую на тело.

Решение. Данный пример относится к первой задаче динамики. Прежде все­го, пользуясь теоремой о проекции ускорения на координатную ось, определим проекции ускорения на оси х и у:

Подставив эти значения в уравнения движения материальной точки, получим:

По проекциям силы, действующей на тело, видно, что она параллельна оси ординат, направлена в сторону отрицательных ординат и по модулю равна

Пример 13.2. Кривошип ОА длиной l, враща­ясь равномерно с угловой скоростью , перемещает кулису, движущуюся поступательно вдоль направ­ляющих I—I (рис. 13.1). Найти, пренебрегая трени­ем, чему при этом равна сила давления F камня А на кулису, если сила тяжести ее равна G.

Решение. Данный пример относится к первой задаче динамики.

Применим принцип освобождаемости, отбро­сим связи кулисы и заменим их реакциями. Реакция N перпендикулярна направляющим кулисы, а сила давления F перпендикулярна кулисе, так как по условию трением пренебрегаем.

Кулиса движется возвратно-поступательно, следовательно, все ее точки движутся одинаково. Составим уравнение движения проекции точки А на ось х, которое и будет кинематическим уравнением движения кулисы:

Применив теорему о проекции ускорения на координатную ось, определим ускорение кулисы

Составим уравнение движения кулисы в координатной форме:

Спроецировав действующие накулису силы на осьд: и подставивзначения массы и ускорения, получим

откуда

Следовательно, сила давления ползуна на кулису изменяется пропорцио­нально расстоянию кулисы от оси кривошипа.

Пример 13.3.На материальную точку массой 4 кг лежащую на гладкой го­ризонтальной плоскости действует горизонтальная сила F = 12 Н. С какой скоро­стью будет двигаться материальная точка через t = 10 с, если до приложения силы эта точка находилась в покое?

Решение. Данный пример относится ко второй задаче динамики.

Так как данная материальная точка лежит на гладкой горизонтальной плос­кости, то под действием горизонтальной постоянной силы F точка будет двигать­ся прямолинейно равноускоренно. Направив ось дс вдоль траектории точки, запи­шем уравнение движения:

Спроецировав на ось х действующие на точку силы и подставив в это урав­нение значение массы, определим ускорение

Применим формулу скорости равноускоренного движения

Подставив значения, получим

Пример 13.4. В результате полученного толчка кирпич начал скользить с начальной скоростью ₀ =2 м/с по неподвижной ленте конвейера, расположенно­го под углом = /6 рад к горизонту. Определить перемещение s кирпича за про-

межуток времени t = 2с, если коэффициент трения скольжения кирпича о ленту кон­вейера f = 0,4; кирпич считать точечной массой (рис 13.2).

Решение. Данный пример относится ко второй задаче динамики. Выберем сис­тему координат хОу таким образом, чтобы начало координат было в начальном поло­жении тела, ось х была направлена вдоль лен­ты конвейера вниз, а ось у — перпендику­лярно ленте конвейера вверх. Применив принцип освобождаемое, рассмотрим кирпич как материальную точку, движу­щуюся вдоль оси х под действием силы тяжести G, нормальной реакции N и силы трения F_тр.

Составим уравнения движения материальной точки:

Кроме того, на основании второго закона трения скольжения можно записать

Так как материальная точка движется вдоль оси х, то а_у = 0, в результате че­го из уравнения (13.2) имеем

Подставив это выражение в уравнение (13.3), получим

Полученное выражение подставим в уравнение (13.1):

Сокращая это равенство на G и учитывая, что а_х =а ,определим ускорение кирпича:

или, вынеся gcosa за скобку, получим

Так как правая часть этого равенства содержит только постоянные величины, то ускорение кирпича—величина постоянная, причем возможны три случая движения:

1) если tg > f, то а > 0 и движение будет равноускоренным;

2) если tg = f, тo a = 0 и движение будет равномерным;

3) если tg < f, то а < 0 и движение будет равнозамедленным.

Применив формулу пути равнопеременного движения, определим путь s, пройденный кирпичом за 2 с:

При данных в условии примера значениях tg > f, т. е. а > 0, следователь­но, движение кирпича было равноускоренным.