ОСНОВЫ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Аксиомы динамики

Динамика есть часть теоретической механики, изучающая меха­ническое движение тел в зависимости от сил, влияющих на это движение.

Установление основных законов динамики было начато итальянским ученым Галилеем (1564—1642) и продолжено Ньютоном. Галилей опро­верг неверное воззрение, существовавшее в науке со времен Аристотеля (IV в. до н. э.), о том, что из двух тел, падающих на Землю, более тяжелое тело движется быстрее. Галилей установил, что сила есть причина изме­нения скорости, т. е. причина возникновения ускорения.

Динамика основывается на ряде положений, которые являются ак­сиомами и называются законами динамики. Прежде чем перейти к рассмотрению этих законов, введем новое для нас понятие изоли­рованной материальной точки, т. е. точки, на которую не действуют другие материальные точки. В действительности изолирован­ные тела в природе не существуют и понятие изолированной материаль­ной точки условно.

Первый закон динамики, называемый аксиомой инерции или первым законом Ньютона, формулируется в применении к ма­териальной точке так: изолированная материальная точка либо находит­ся в покое, либо движется прямолинейно и равномерно.

В кинематике было установлено, что прямолинейное равномерное движение есть единственный вид движения, при котором ускорение рав­но нулю, поэтому аксиому инерции можно сформулировать так: ускоре­ние изолированной материальной точки равно нулю.

Итак, изолированная от влияния окружающих тел материальная точ­ка не может сама себе сообщить ускорение. Это свойство тел называется инерцией или инертностью.

Можно сказать, что инерция или инертность есть способность тела сохранять свою скорость по модулю и направлению неизменной (в том числе и скорость, равную нулю).

Изменить скорость, т. е. сообщить ускорение, может лишь при­ложенная к телу сила.

Зависимость между силой и сообщаемым ею ускорением устанавли­вает второй закон динамики, или второй закон Ньютона, кото­рый формулируется так: ускорение, сообщаемое материальной точке силой, имеет направление силы и пропорционально ее модулю.

Если сила F₁ сообщает материальной точке ускорение a₁, а сила F₂ — ускорение a₂, то на основании второго закона можно записать

Это равенство означает, что две материальные точки имеют одина­ковые массы, если от одной и той же силы они получают одинаковые ус­корения; чем больше масса точки, тем большую силу надо приложить, чтобы сообщить точке заданное ускорение.

Масса — одна из основных характеристик любого материального объекта, определяющая его инертные и гравитационные свойства.

Ньютон называл массой количество материи, заключенное в теле, и считал массу величиной постоянной.

С современной точки зрения масса тела (отношение силы к ускоре­нию) не является неизменной и зависит от скорости движения. Так, на­пример, при наблюдениях за движением в ускорителях заряженных час­тиц доказано, что инертность частицы, т. е. способность сохранять свою скорость, возрастает с увеличением ее скорости.

Теория относительности устанавливает следующую зависимость ме­жду массой тела, находящегося в покое, и массой движущегося тела:

где т — масса движущегося тела; т₀— масса покоя; — скорость дви­жения тела; с — скорость света.

Из этой формулы видно, что чем больше скорость движения тела, тем больше его масса и, следовательно, тем труднее сообщить ему даль­нейшее ускорение.

На основании выводов теории относительности современная наука дает массе такое определение: масса есть мера инертности тела.

Однако заметно масса тела меняется лишь при очень больших скоро­стях, близких к скорости света, поэтому в дальнейшем этим изменением пренебрегаем и считаем массу величиной постоянной.

Второй закон Ньютона выражается равенством

которое называется основным уравнением динамики и чи­тается так: сила есть вектор, равный произведению массы точки на ее ускорение.

Основное уравнение динамики есть уравнение движения материаль­ной точки в векторной форме.

Из опыта известно, что под действием притяжения Земли в пусто­те тела падают в данном месте с одинаковым ускорением, которое на­зывается ускорением свободного падения. Сила тяжести тела равна его массе, умноженной на ускорение свободного падения. Если сила тяжести одного тела G₁ = m₁g, а второго G₂ = m₂g, то

т. е. силы тяжести тел пропорциональны их массам, что позволяет срав­нивать массы тел путем их взвешивания.

Ускорение свободного падения g в различных местах земной по­верхности различно и уменьшается от полюсов к экватору, так как земной шар сплюснут в направлении полюсов. Другой причиной уменьшения ускорения свободного падения при перемещении от полюсов к экватору является существование центробежной силы инерции, о которой будет идти речь в § 14.2.

Для Москвы g = 9,8156 м/с², на полюсах g = 9,83 м/с², на экваторе g = 9,78 м/с². Из сказанного ясно, что сила тяжести тела зависит от места, где производится взвешивание.

Из второго закона Ньютона следует, что под действием постоян­ной силы находившаяся в покое Свободная материальная точка дви­жется прямолинейно равнопеременно.

Движение под действием постоянной силы может быть и прямоли­нейным и криволинейным (в последнем случае материальная точка имеет начальную скорость, вектор которой не совпадает с линией действия си­лы, см. § 13.3). Пример движения под действием постоянной силы — свободное падение тел.

К основным законам динамики относится известная из статики ак­сиома взаимодействия, или третий закон Ньютона. Применительно к материальной точке закон формулируется так: силы взаимодействия двух материальных точек по модулю равны между со­бой и направлены в противоположные стороны.