Силы инерции в криволинейном движении

В криволинейном движении точки полное ускорение равно вектор­ной сумме касательного и нормального ускорений (рис. 14.2).

Касательное ускорение , нормальное ускорение а_n = , полное ускорение

Каждому ускорению соответствует своя сила инерции:

—касательная, или тангенциальная;

—нормальная, или центробежная;

— полная.

В качестве примера рассмотрим равномерное движение по окружно­сти, лежащей в горизонтальной плоскости, камня силой тяжести G,при­вязанного к невесомой нити длиной r, расположенной в той же плоскости (рис. 14.3, а).Чтобы нить оставалась в плоскости движения камня, пред­полагается, что он скользит по идеальной гладкой горизонтальной плос­кости. Скорость камня обозначим . Тогда — центробежная сила инерции (эта сила натягивает нить); — центростреми­тельная сила, приложенная к камню (эта сила удерживает камень на ок­ружности).

Центробежная и центростремительная силы (действие и противодей­ствие) по третьему закону Ньютона равны по модулю и направлены в противоположные стороны. Очевидно, что касательная сила инерции

в этом случае равна нулю, так как = const.

Из опыта известно, что при достаточной скорости нить может разо­рваться и камень полетит по касательной к окружности, т. е. по направле­нию имеющейся в момент разрыва скорости. Это доказывает, что центро­бежная сила инерции есть реальная сила для связи, но к телу она прило­жена условно.

Внутри тел, движущихся с ускорением, также возникают внутренние силы инерции, так как для каждой частицы тела соседние частицы явля­ются связями.

Найдем, чему равно натяжение нити, если камень движется по ок­ружности, лежащей в вертикальной плоскости (рис. 14.3, б). Для опреде­ления натяжения R нити применим принцип Даламбера, т. е. приложим к

камню нормальную силу инерции и касательную силу инерции .

Спроецируем все силы на направление нити, в результате чего получим

откуда

Натяжение нити максимальное при = 0, т. е. когда камень находит­ся в нижнем положении:

Натяжение нити минимальное при = рад, т. е. когда камень нахо­дится в верхнем положении:

Заметим, что под влиянием силы тяжести камня модуль его скорости w будет меняться и достигать наименьшего значения в верхнем положе­нии и наибольшего — в нижнем.

Если выразить линейную скорость камня через угловую скорость нити

то формула центробежной силы инерции примет вид

Пример 14.2. Груз G = 10 Н, подвешенный на нити длиной l = 0,3 м в не­подвижной точке О, представляет собой конический маятник, т. е. описывает окружность в горизонтальной плоскости, причем нить составляет с вертикалью угол 60° (рис. 14.4). Определить скорость груза и натяжение R нити.

Решение. Так как нить составляет с вертикалью постоянный угол, то ско­рость груза постоянна, касательное ускорение груза и касательная сила инерции равны нулю. Применим прин­цип Даламбера, т. е. приложим к грузу центробежную силу инерции , ре­акцию R нити и составим два уравнения равновесия:

где

Из второго уравнения определим

и подставим в первое уравнение

отсюда

Пример 14.3.Определить скорость искусственного спутника Земли, дви­жущегося по круговой орбите на высоте h = 230 км от поверхности Земли. Изме­нением ускорения свободного падения и сопротивлением воздуха пренебречь. Радиус Земли считать равным R = 6370 км.

Решение. После того как ракета-носитель вывела спутник массой т на за­данную орбиту и сообщила ему скорость ,касательную к орбите, спутник про­должает движение под действием одной лишь силы притяжения Земли. Для опре­деления скорости v спутника применим принцип Даламбера, т. е. приложим к спутнику центробежную силу инерции и составим уравнение равновесия, спрое­цировав силы на ось, проходящую через спутник и центр Земли:

Сократив равенство на т, определим скорость спутника:

Эта скорость, при которой спутник Земли удерживается на круговой орбите на относительно небольшой высоте, называется первой космической скоростью.

Пример 14.4.На какую высоту h надо запустить искусственный спутник Земли, предназначенный для сверхдальних телепередач, чтобы он казался непод­вижным по отношению к Земле? Орбиту спутника приближенно считать окруж­ностью, концентричной экватору.

Радиус R Земли принять равным 6370 км, а угловую скорость вращения Земли вокруг своей оси = 0,7 10^-4 рад/с (рис. 14.5).

Решение. Введем следующие обозначения: т — масса спутника; G — сипа тяжести спутника на поверхности Земли; М— масса Земли; — скорость движения спутника.

На основании закона всемирного тяготения сила F,с которой спутник притягивается к Земле, на высоте h равна

где — гравитационная постоянная. При h = 0

Центробежная сила инерции спутника на высоте h равна

На основании принципа Далам-бера

следовательно,

Так как v = (R + h),то после подстановки и сокращений получим

(14.1)

Если бы спутник летел на небольшом расстоянии от поверхности Земли, то этим расстоянием можно было бы пренебречь и тогда

или

Отсюда

(14.2)

Из равенств (14.1) и (14.2) получим

откуда

Глава 15

РАБОТА И МОЩНОСТЬ