Различные случаи вращательного движения

Равномерное вращательное движение.Если тело вращается во­круг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью, то движение называется равномерным. Формулы равномерного вращательного движения

Касательное, нормальное и полное ускорения любой точки равно­мерно вращающегося тела определяют так:

Пример 10 4. Маховое колесо вращается равномерно с угловой скоростью 4 рад/с. Сколько оборотов колесо сделает за 2 мин?

Решение. Применим формулу равномерного вращательного движения и оп­еделим угловое перемещение колеса за время t = 2 мин =120 с:

Далее определим число оборотов N тела за тот же промежуток времени

Неравномерное вращательное движение. Если угловая скорость вращающегося тела с течением времени меняется, то движение называет­ся неравномерным. В самом общем виде формулы неравномерного вращательного движения запишутся так:

Касательное ускорение любой точки неравномерного вращающегося тела определяют следующим образом:

Выражение - обозначают а и называют угловым ускорением. Угловое ускорение есть кинематическая мера изменения угловой скорости вращающегося тела:

Угловое ускорение равно первой производной угловой скорости или второй производной углового перемещения по времени. Единица углового ускорения:

Теперь можно записать формулу для определения касательного ус­корения любой точки неравномерно вращающегося тела а, таком виде:

Нормальное ускорение определяется по такой же формуле, как и в случае равномерного вращения, т. е.

Полное ускорение

откуда

Направляющий тангенс

откуда

Если направление углового ускорения совпадает с направлением вращения, то вращательное движение является ускоренным, и наоборот (рис. 10.5).

Пример 10.5.Написать урав­нение вращения диска паровой турбины при пуске в ход, если известно, что угол , рад, поворо­та диска пропорционален кубу времени и при t = 3 с угловая скорость равна 27 рад/с.

Решение. Согласно условию задачи, уравнение вращения дис­ка паровой турбины при пуске в ход будет выглядеть так:

= bt³.

Для определения коэффици­ента пропорциональности b про­дифференцируем уравнение вращения диска, в результате чего получим

откуда

Подставив в это уравнение значения времени и угловой скорости, получим

Следовательно, уравнение движения диска турбины имеет вид

Равнопеременное вращательное движение.Если тело вращается вокруг неподвижной оси с постоянным угловым ускорением, то движение называется равнопеременным. Формулы этого вида вращательно­го движения могут быть получены таким же способом, каким были выве­дены формулы равнопеременного движения точки, т. е. с помощью инте­грального исчисления.

Итак, если твердое тело вращается вокруг неподвижной оси равно­переменно, то

откуда

Интегрируя это равенство по t, получим

где — начальная угловая скорость. Окончательно получим формулу угловой скорости в таком виде:

где — начальное угловое перемещение. Если = 0, то формула углового перемещения будет иметь вид

Далее выведем формулу углового перемещения. Так как при любом вращательном движении

Итак, формулы равнопеременного вращательного движения твердого тела записываются следующим образом:

Из выведенных формул можно получить формулы углового переме­щения в виде:

Пример 10.6. В инерционном аккумуляторе Уфимцева* маховик вращается в глубоком вакууме с частотой 20 000 мин ^-1. Предоставленный самому себе, он продолжает вращаться до полной остановки в течение двух недель. Определить угловое ускорение маховика, считая его постоянным.

Решение. Определим начальную угловую скорость маховика и время вращения:

------------------------------------------------

* А. Г. Уфимцев (1880—1936). которого А. М. Горький назвал поэтом в об­ласти научной техники, построил в г. Курске ветровую электростанцию с инерци­онным аккумулятором механической энергии. В лаборатории при кафедре теоре­тической механики Курского политехнического института в 1973 г. был оборудо­ван экспериментальный автобус с инерционным аккумулятором механической энергии, дающим возможность значительно экономить горючее и уменьшить количество выбрасываемых в атмосферу вредных выхлопных газов.

Знак «—» показывает, что вращение маховика было замедленным.