Аналитические условия равновесия

Пространственной системы произвольно

Расположенных сил

Строгое обоснование условий равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил требует знания некоторых вопросов, не предусматриваемых программами средних специальных учебных заведе­ний, поэтому примем эти условия без доказательства.

Для равновесия пространственной системы произвольно располо­женных сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций всех сил на каждую из трех осей координат была равна нулю и чтобы алгебраическая сумма моментов всех сил относительно каждой из этих осей была равна нулю.

Запишем условия равновесия:

Тело, лежащее на плоскости, имеет три степени свободы, а именно: возможность перемещения в направлениях двух взаимно перпендикуляр­ных осей, лежащих в этой плоскости, и возможность вращения вокруг оси, перпендикулярной этой плоскости. Если к телу приложена плоская система сил и выполнено условие X = 0, то тело не будет перемещаться в на­правлении оси х, так как равнодействующая системы не имеет составляю­щей, параллельной оси х. Если выполнено условие Y = 0, то тело не бу­дет перемещаться и в направлении оси у, так как равнодействующая систе­мы не имеет составляющей, параллельной оси у. Наконец, если выполнено условие M (F_i) = 0, т.е. сумма моментов относительно любой точки

плоскости равна нулю, то тело не будет под действием этой системы сил вращаться, так как нет пары сил, которая может осуществить это вращение.

Таким образом, трем степеням свободы тела на плоскости соот­ветствуют три условия равновесия.

Свободное тело в пространстве имеет шесть степеней свободы, а именно: возможность перемещаться в направлениях трех взаимно пер­пендикулярных осей координат и возможность вращаться вокруг этих осей. Таким образом, шести степеням свободы тела в пространстве соответствуют шесть условий равновесия.

Если система сил, приложенная к свободному телу, удовлетворяет всем шести условиям равновесия, то возможность трех перемещений и грех вращений под действием этой системы исключена и тело будет на­ходиться в равновесии.

Нетрудно показать, что все выведенные выше условия равновесия для различных систем сил являются частными случаями условий равно­весия, рассмотренных здесь.

В случае, если на свободное тело действует пространственная систе­ма параллельных сил (например, параллельных оси z),то условия равно­весия этой системы запишутся так:

Остальные три условия равновесия будут представлять собой тожде­ства, так как проекции всех сил такой системы на оси х и у равны нулю и моменты всех сил относительно оси z также равны нулю.

Так как условия равновесия пространственной системы сил справед­ливы для любых прямоугольных осей координат, то при решении данной задачи систему координат можно изменять, т. е. часть условий равнове­сия составить для одних осей координат, а часть — для измененных.

Кроме того, можно одно, два или все три уравнения проекций сил заменить уравнениями моментов сил относительно новых осей координат (см. пример 7.2). В некоторых случаях такие приемы упрощают решение задач.

При решении задач уравнения моментов сил относительно осей в общем виде будем записывать упрощенно, а именно:

Пример 7.2. На горизонтальном валу АВ (рис. 7.6) насажены зубчатое коле­со 1 диаметром D = 2 м и шестерня 2 диаметром d = 20 см. Остальные размеры указаны на рисунке. К колесу 1 по касательной приложена горизонтальная сила Р = 100 Н, а к шестерне 2 также по касательной приложена вертикальная сила Q. Определить силу Q и реакции подшипников А и В в положении равновесия. Мас­сой деталей пренебречь.

Решение. Отбросим подшипники и рассмотрим равновесие вала с зубчатым колесом и шестерней. Реакции подшипников А и В перпендикулярны оси вала. Поэтому разложим каждую из этих реакций на две взаимно перпендикулярные

составляющие, параллельные осям координат х и z. В результате получе­на приложенная к заданной системе тел пространственная система шести сил, пять из которых, т. е. Х_A, Z_A, X_B, Z_B, Q, не известны по модулю.

Применим условия равновесия пространственной системы произ­вольно расположенных сил и соста­вим пять уравнений равновесия:

1) М_y= 0; -Qd/2 + PD/2 = 0.

Из этого уравнения

Из этого уравнения

Из этого уравнения

Из этого уравнения

Из этого уравнения

Знак «-» перед значениями реакций Х_A, Х_B, Z_А и Z_B показывает, что эти ре­акции направлены противоположно указанным на рисунке.

Шестое условие равновесия Y = 0 обращается в тождество, так как про­екции на ось у всех сил рассматриваемой системы равны нулю.

Для проверки решения составим дополнительное, контрольное уравнение моментов относительно оси х_ь проходящей через точку В:

Подставив значения, получим 900 1,0 - 1000 0,9 = 0.

Контрольное уравнение обращается в тождество, что свидетельствует о пра­вильности полученных ответов.

На этом примере покажем возможность изменения при решении системы координатных осей и замены уравнения проекций уравнением моментов.

Определим реакцию Х_A, составив вместо уравнения проекций сил на ось х уравнение моментов сил относительно новой оси z₁, проходящей через точку В:

Из этого уравнения

Как видим, ответ получен тот же.