Гармонические колебания. Колебания математического маятника. Колебания физического маятника.

<14 15 161718 19 20 >

Довольно распространенный тип движения механических систем представляют собой так называемые малые колебания,которые система совершает вблизи своего положения устойчивого равновесия. Мы рассмотрим эти движения в наиболее простом случае, когда система имеет всего лишь одну степень свободы. Это значит, что для однозначного определения положения системы в пространстве достаточно задать всего одно число. Это не обязательно должна быть декартова координата, а в зависимости от условий задачи может оказаться более удобным выбор какой-то другой величины. Такая величина, однозначно характеризующая положение системы, называется ее обобщенной координатой.

Устойчивому равновесию соответствует такое положение системы, в котором ее потенциальная энергия U(q) как функция некотоpой обобщенной координаты q имеет минимум. Отклонения от этого минимума приводят к возникновению силы −dU/dq, стремящейся вернуть систему обратно. Обозначим соответствующее минимуму значение координаты q через q0. Считая, что U(q0) = 0, и вводя обозначение

х = q − q₀, (10.1)

получим

U(x) =kx²/2 (10.2)

Кинетическая энергия системы с одной степенью свободы есть квадратичная функция обобщенной скоростиq’и в общем случае имеет вид

В том же приближении малых колебаний, которое мы использовали ранее, достаточно заменить функцию a(q) на ее значение при q=q₀. Вводя для краткости обозначение a(q₀) = m, получим окончательно для полной энергии системы выражение

(10.3)

то есть выражение, формально совпадающее с энергией механической системы "грузик+пружинка". В механике доказывается теорема, что если выражение для полной энергии двух систем как функция их обобщенных координаты и скорости совпадают, то совпадают и уравнения их движения.

Уравнение движения гpузика, как известно, имеет вид ma = F, где возвращающая сила F = −kx,

или

тх’’+кх = 0 (та = -кх).

Сокращая на m, его можно переписать в виде

x’’+w²x=0 (10.4)

где .

Дифференциальное уравнение х’’+w²х = 0 является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка.Согласно общей теории линейных дифференциальных уравнений, оно имеет двалинейно независимых решения. В данном конкретном случае легко проверить, что это функции

sin wt и cos wt.

Общее решение представляет собой линейную комбинацию этих двух решений:

х = c₁cos ωt + c₂ sin ωt, (10.5)

где c₁ и c₂ — произвольные постоянные. Это выражение можно переписать в виде

х = Аcos (ωt + α)

Поскольку cos(ωt + a) = cosωt cosa − sinωt sina, то, сравнивая с (10.5), получаем

где c₁ = А cos a, а c₂ = −А sina.

сos φ и sin φ являются периодическими функциями от t с периодом

.

Период колебания – промежуток времени, в конце которого точка оказывается в том же положении и движется с той же скоростью, как и в его начале.

Периодические колебания, при которых смещение меняется по закону sin или cos называются гармоническими колебаниями.

Таким образом, вблизи положения устойчивого равновесия система совершает гармоническое колебательное движение.Коэффициент А называется амплитудойколебаний, а аргумент косинуса — их фазой,αесть начальное значение фазы, зависящее, очевидно, от выбора начала отсчета времени. Величина ω называется циклической частотойколебаний, или просто частотой.

Частота ω является основной характеристикой колебаний, не зависящей от начальных условий движения, и в частности от энергии. Согласно формуле , то есть она полностью определяется свойствами механической системы как таковой. Hеобходимо, однако, подчеркнуть, что это свойство частоты связано с предполагаемой малостью колебаний. Оно исчезает при переходе к более высоким приближениям.

Зная уравнение смещения точки при гармоническом колебании

х = А cos φ = А cos (φ₀ + ωt)

легко найти уравнения изменения других кинематических и динамических характеристик.

Скорость движения точки

υ = = – ωА sin φ = – ωА sin (φ₀ + ωt).

Ускорение движения точки

a = = – ω²А cos φ = – ω²А cos (φ₀ + ωt)

или

a = – ω² х .

Из полученных уравнений и их графического представления следует:

– смещение х, скорость υ, ускорение а точки меняются гармонически с одинаковой циклической частотой ω и периодом Т;

– амплитуда колебаний | х_max| = | A |, | υ_max| = | ωА |, | a _max| = | A ω² |;

– фазы колебаний различны:

– колебания скорости опережают колебания смещения на 0,5π,

– колебания ускорения опережают колебания смещения на π.

Энергия системы, совершающей малые колебания, есть

Она пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.

<14 15 161718 19 20 >

Дата добавления: 2017-09-01; просмотров: 1143;