Понятие погрешности
Различают два вида погрешностей - абсолютную и относительную. Абсолютная погрешность некоторого числа равна разности между его истинным значением и приближенным значением, полученным в результате вычисления или измерения. Относительная погрешность - это отношение абсолютной погрешности к истинному значению числа.
Абсолютной погрешностью приближенного числа а назовем величину ∆а, про которую известно, что .
Таким образом, точное число заключено в границах или сокращенно .
Пример 1:Приближенные числа ; ; получены округлением, точные значения чисел неизвестны. Что можно сказать об абсолютной погрешности данных приближенных чисел?
Решение:Пользуясь правилами округления чисел, можно сказать, что абсолютные погрешности приближенных чисел не превосходят половины единицы последнего разряда, т.е.
Для приближенного числа, полученного в результате округления, абсолютная погрешность принимается равной половине единицы последнего разряда числа.
Пример 2: Значение могло быть получено округлением чисел и др. При этом , и полагаем .
При вычислениях на ЭВМ округления, как правило, не производятся, а цифры, выходящие за разрядную сетку машины, отбрасываются. В этом случае максимально возможная погрешность результата выполнения операции в два раза больше по сравнению со случаем округления.
Абсолютная погрешность связана с размерностью и не полностью характеризует результат. Например, известно, что абсолютная погрешность равна 3 см. Ясно, что имеем совершенно различный по точности результат, если речь идет о длине карандаша или о расстоянии между Землей и Сатурном. Поэтому вводят понятие относительной погрешности.
Относительной погрешностью приближенного числа называется отношение абсолютной погрешности к абсолютной величине приближенного числа :
Для приближенного числа, полученного в результате округления, абсолютная погрешность принимается равной половине единицы последнего разряда числа. Например, значение могло быть получено округлением чисел и др. При этом , и полагаем .
Приведем примеры оценки абсолютной погрешности при некоторых значениях приближенной величины (таб. 1.1).
Таблица 1.1 - Оценка абсолютной погрешности
51,7 | -0,0031 | 16,00 | ||
0,05 | 0,00005 | 0,5 | 0,005 |
При вычислениях на ЭВМ округления, как правило, не производятся, а цифры, выходящие за разрядную сетку машины, отбрасываются. В этом случае максимально возможная погрешность результата выполнения операции в два раза больше по сравнению со случаем округления.
Например: относительная погрешность . Заметим, что погрешность округляется всегда в сторону увеличения. В данном случае .
Определение 1. Значащими цифрами в десятичной записи числа называются все цифры, начиная с первой ненулевой слева.
Определение 2.Значащая цифра называется верной в узком смысле, если абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы разряда, соответствующего этой цифре.
Определение 3. Значащая цифра называется верной в широком смысле, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, соответствующего этой цифре.
Сформулируем правила округления:
1. если отбрасываемые при округлении цифры составляют число, большее половины единицы последнего оставляемого разряда, то последняя оставляемая цифра увеличивается на единицу;
2. если отбрасываемые при округлении цифры составляют число, меньшее половины единицы последнего оставляемого разряда, то оставляемые цифры остаются без изменения;
3. при округлении, когда отбрасываемые цифры составляют число, равное половине единицы последнего оставляемого разряда, то последняя оставляемая цифра увеличивается на единицу, если она нечетная, и остается без изменения, если она четная (правило четной цифры).
Дата добавления: 2017-09-01; просмотров: 2436;