Инерционное звено второго порядка

Инерционное звено второго порядка – это звено, зависимость между выходным и входным сигналами которого описывается следующим дифференциальным уравнением:

Рис. 2.16. Логарифмические амплитудно- и фазо-частотная характеристики реального дифференцирующего звена

Т

+20 дБ/дек

1/Т

Рис. 2.17. Переходная функция реального дифференцирующего звена

где k, T – соответственно коэффициент усиления и постоянная времени звена; - коэффициент демпфирования.

Операторное уравнение звена:

Передаточная функция звена:

. (2.51)

Примерами реализации инерционного звена второго порядка являются RLC-контур, со­стоящий из катушки индуктивности, резистора и конден­сатора, или физический маятник.

Амплитудно- и фазо-частотная характеристики:

A(ω) ; . (2.52)

В зависимости от значения коэффициента демпфирования свойства инерционного звена второго порядка изменяются настолько существенно, что при различных значениях это звено имеет различные названия: консервативное, колебательное или апериодическое звено второго порядка.

1) Консервативное звено: , передаточная функция (2.51) принимает вид:

. (2.53)

При этом ее полюса чисто мнимые: .

В соответствии с (2.15) и (2.23) выражения переходной функции и функции веса консервативного звена:

; = .

2) Колебательное звено: , полюса передаточной функции (2.51) – комплексно-сопряженные числа. С учетом (2.52) логарифмическая амплитудно-частотная характеристика звена примет вид:

.

Кусочно-асимптотическая ЛАЧХ звена состоит из двух участков. На низкочастотном участке до частоты сопряжения уравнение горизонтальной асимптоты:

,

а в диапазоне частот много больше частоты сопряжения уравнение высокочастотной асимптоты:

Последнее уравнение – это уравнение прямой с наклоном -40 дБ/дек.

В окрестности частоты сопряжения график ЛАЧХ колебательного звена при имеет амплитудный всплеск («горб»), величина которого тем больше, чем меньше коэффициент демпфирования . У консервативного звена при амплитудный всплеск вырождается в разрыв непрерывности.

Выражения переходной функции и функции веса колебательного звена:

;

= ;

где .

3) Апериодическое звено второго порядка: , полюса передаточной функции (2.51) – действительные числа, поэтому переда­точную функцию звена можно представить в следующем виде:

. (2.54)

Очевидно, что между коэффициентами передаточных функций (2.51) и (2.54) существуют следующие зависимости:

Рис. 2.18. Логарифмические амплитудно- и фазо-частотные характеристики: а - консервативного и колебательного звеньев; б - апериодического звена второго порядка

-40 дБ/дек

-20 дБ/дек

-40 дБ/дек

1/Т1

1/Т2

а)

б)

и .

Уравнения логарифмических амплитудно- и фазо-частотной характеристик:

;

.

Рис. 2.19. Временные характеристики инерционного звена второго порядка: а - переходные функции; б - функции веса

k

2k

а)

б)

Выражения для временных характеристик апериодического звена второго порядка:

;

= .

Графики логарифмических амплитудно- и фазочастотной характеристик инерционного звена второго порядка для различных значений коэффициента демпфирования приведены на рис. 2.18; графики временных характеристик – на рис. 2.19.

Звено чистого запаздыва­ния

Звено чистого запаздыва­ния–это звено, выходной сигнал которого полностью совпадает по форме с входным сигналом, но отстает от него на время , т.е.

.

На основании теоремы запаздывания (2.11): . Следовательно, передаточная функ­ция звена имеет вид:

,

где – время запаздывания.

Частотные характеристики для звена чистого запаздыва­ния:

cos(ω) – j sin (ω);

т.е. P(ω) = cos(ω) и Q(ω)= – sin (ω);

A(ω) = 1, ω , .

На рис.2.20 приведен график переходной функции звена, на рис.2.21 – годограф АФХ, а на рис. 2.22 – логарифмические амплитудно- и фазо-частотные характеристики.

Интегро-дифференцирующее звено

Рис. 2. 20. Переходная функция звена чистого запаздывания

-1

1

-1

1

Рис. 2.21. АФХ звена чистого запаздывания

Рис. 2.22. Логарифмические амплитудно- и фазо-часто­тные характеристики звена чистого запаздывания

Интегро-дифференцирующее звено порядка – это звено, зависимость между выходным и входным сигналами которого описывается следующим дифференциальным уравнением:

Операторное уравнение звена:

.

Переда­точная функция звена

.

Частотные характеристики:

; ; ; (2.55)

Выполнив несложные преобразования, можно представить АФХ звена в виде функции, связывающей вещественную и мнимую частотные характеристики:

, (2.56)

где ; .

Рис. 2.23. АФХ интегро-дифференцирующего звена: а - при > ; б - при < .

k

с

с

Согласно (2.55) – (2.56) годограф АФХ интегро-дифференцирующего звена имеет вид полуокружности с радиусом , центр которой находится на действительной положительной полуоси в точке . При этом годограф расположен в первом квадранте, если T₁ > T₂ (рис. 2.32, а), и в четвертом квадранте, если T₁ <T₂ (рис. 2.32, б).

Вид всех остальных характеристик интегро-дифференцирующего звена также определяется соотношением между постоянными времени T₁ и T₂:

A(ω)= = ;

;

.

Рис. 2.24. Логарифмические амплитудно- и фазо-частотные характеристики интегро-дифференцирующего звена: а - при > ; б - при < .

+20 дБ/дек

1/Т1

1/Т2

1/Т1

-20 дБ/дек

1/Т2

а)

б)

Графики логарифмической амплитудно- и фазо-частотной характеристик приведены на рис. 2.24. Очевидно, что при > в среднечастотном диапазоне преобладают дифференцирующие свойства звена (наклон ЛАХ +20дБ/дек), а при < – интегрирующие свойства (наклон ЛАХ -20 дБ/дек).

Воспользуемся формулой разложения (2.15) для получения выражение переходной функции интегро-дифференцирующего звена.

Изображение по Лапласу переходной функции:

В соответствии с выражением (2.15):

; ; ;

; ; ; ;

и

Следовательно, переходная функция интегро-дифференцирующего звена (рис. 2.25) имеет вид:

Пропорционально-интегральный регулятор (ПИ-регулятор)

Рис. 2.25. Переходная функция интегро-дифференцирующего звена: а - при > ; б - при < .

k

t

k

t

а)

б)

Пропорционально-интегральный регулятор (ПИ-регулятор) – это звено, зависимость между выходным и входным сигналами которого описывается следующим дифференциальным уравнением:

Операторное уравнение звена:

.

Переда­точная функция звена

.

Следовательно, изображение по Лапласу сигнала на выходе звена представляет собой сумму двух составляющих, одна из которых пропорциональна входному сигналу, а вторая – пропорциональна интегралу от входного сигнала, что и определяет название данного звена:

.

Частотные характеристики ПИ-регулятора:

; ;

; ;

.

k

Рис. 2.27. Переходная функция ПИ-регулятора

-20 дБ/дек

1/Т

Рис. 2.26. ЛАХ и ФЧХ ПИ-регулятора

Графики логарифмических амплитудно- и фазо-частотной характеристик звена приведены на рис.2.26.

Переходная функция звена (рис. 2.27):

.