Эквивалентные преобразования структурных схем линейных САУ

В САУ встречаются три вида соединений звеньев: последовательное, параллельноеи соединение звеньев по схемес обратной связью.

В системе, состоящей из n последовательно соединенных звеньев (рис. 2.28) выходной сигнал предыдущего звена равен входному сигналу последующего.

Рис. 2.28. Последовательное соединение звеньев

Изображения по Лапласу выходных сигналов этих звеньев равны:

x_вых1(p) = W₁(p)x_вх(p); x_вых2(p) = W₂(p) x_вых1(p); … x_вых(p) = W_n(p)x_вых(n)(p).

Откуда

x_вых x_вх(p).

Следовательно, передаточная функция системы примет вид:

. (2.57)

Таким образом, передаточная функция последова­тельно соединенных звеньев равна произведению пере­даточных функций этих звеньев.

Частотные характеристики последовательно соеди­ненных звеньев:

где A(ω) = A₁(ω)A₂(ω)…A_n(ω); .

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика звеньев, соединенных последовательно:

. (2.58)

Следовательно, логарифмические амплитудно- и фазо-частотная характеристики системы, состоящей из последовательно сое­диненных звеньев, равны сумме ЛАХ и ФЧХ отдельных звеньев. Это существенно упрощает построение логарифмических частотных характеристик, по сравнению с обычными характеристиками.

Передаточная функция минимально-фазовой системы в общем случае может быть записана в виде:

. (2.59)

В выражении (2.59) сомножители в числителе определяют нули передаточной функции, а именно:

· сомножитель соответствует нулевому нолю кратности ,

· сомножитель – действительному нолю кратности l,

· сомножитель – паре комплексно-сопряженных нолей кратности .

Аналогичные сомножители в знаменателе выражения (2.59) определяют полюса передаточной функции, а именно:

· сомножитель соответствует нулевому полюсу кратности ,

· сомножитель – действительному полюсу кратности ,

· сомножитель – паре комплексно-сопряженных полюсов кратности .

Очевидно, что в зависимости от соотношения s и передаточная функция (2.59) может иметь только один тип особенностей: либо нулевые ноли, либо нулевые полюса. Кроме того, предполагается, что в (2.59) для коэффициентов демпфирования выполняются неравенства: 0 < ζ < 1.

Формально передаточная функция (2.59) представляет собой произведение нескольких сомножителей, что соответствует последовательному соединению звеньев, и для вычисления можно воспользоваться выражением (2.58). При этом построение ЛАХ системы осуществляется без предварительного построения ЛАХ отдельных звеньев по следующим правилам.

На оси частот в порядке возрастания указываются все частоты сопряжения ЛАХ, определяемые соответствующими постоянными времени: = 1/ .

Построение ЛАХ начинается на частотах, меньших самой малой частоты сопряжения .

Если при этом в выражении (2.59) выполняется равенство s = = 0 (система не имеет нулевых полюсов и нолей), то первая низкочастотная асимптота ЛАХ проводится параллельно оси частот на уровне 20 lgk до частоты

Если в выражении (2.59) s , а = 0, то уравнение низкочастотной асимптоты:

, (2.60)

т.е. ЛАХ до наименьшей частоты сопряжения проводится с наклоном (+20∙s) дБ/дек.

Если в выражении (2.48) s = , а , то уравнение низкочастотной асимптоты:

, (2.61)

и наклон ЛАХ до наименьшей частоты сопряжения равен -20∙ дБ/дек.

Для построения низкочастотной асимптоты ЛАХ необходимо для произвольной частоты меньшей или равной по выражениям (2.60) или (2.61) рассчитать величину и через точку с координатами ( ; ) провести ЛАХ с необходимым наклоном.

На частоте производится излом ЛАХ с изменением ее наклона, величина которого определяется видом сомножителя в выражении (2.59), которому соответствует сопрягающая частота . Наклон ЛАХ на частоте изменяется по отношению к предыдущему наклону на +20∙l, если соответствует постоянной времени T из сомножителя вида в числителе передаточной функции (2.59).

1/Т1

1/Т2

-20 дБ/дек

+20 дБ/дек

1/Т1

1/Т2

-20 дБ/дек

+20 дБ/дек

+20 дБ/дек

-20 дБ/дек

1/Т1

1/Т2

1/Т3

1/Т1

1/Т2

-20 дБ/дек

-40 дБ/дек

а)

б)

в)

г)

Рис. 2.29. Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика системы с передаточной функцией: а) > > ; б) > ; в) > ; г) >

Если сомножитель вида , соответствующий присутствует в знаменателе (2.59), то изменение наклона составляет -20∙ .

В случае, когда соответствует постоянной времени T из сомножителя вида , происходит изменение предыдущего наклона на +40∙h, если указанный сомножитель присутствует в числителе , и на -40∙ , если он присутствует в знаменателе.

Таким же образом характеристика продолжается в сторону увеличения частоты, претерпевая соответствующие изломы на каждой сопрягающей частоте . При необходимости вид построенной ЛАХ уточняется путем введения поправок для колебательных звеньев.

Примеры построения ЛАХ по различным передаточным функциям приведены на рис. 2.29.

В системе, состоящей из n параллельно соединенных звеньев (рис. 2.30), на вход каждому из звеньев подается один и тот же сигнал x_вх(p), а их выходные сигналы суммируются:

.

Так как

;

;

……………………………

,

то

Рис. 2.30. Параллельное соединение звеньев

Рис. 2.31. Соединение звеньев по схеме с обратной связью

x_вых(p) = x_вых1(p) +x_вых2(p)+…+x_вых(n)(p) = .

Таким образом, передаточная функция параллельно соединенных звеньев равна сумме передаточных функ­ций отдельных звеньев:

W(p) = . (2.62)

Очевидно, что в случае, когда выходной сигнал какого-либо из параллельно соединенных звеньев поступает в сумматор со знаком «минус», передаточная функция этого звена входит в (2.62) также со знаком «минус».

Рассмотрим структуру системы с обратной связью (рис. 2.31). На вход звена, охваченного обратной связью, подается сигнал рассогласования, равный:

.

Поскольку , то

Изображение выходного сигнала:

x_вых(р)=

откуда

.

Следовательно, передаточная функция замкнутой системы (в замкнутом состоянии) описывается следующим выражением:

Передаточная функция разомкнутой системы (замкнутой системы в разомкнутом состоянии):