Задание для самостоятельной работы

1.В полярной системе координат постройте точки , , , , , .

2. В полярной системе координат даны точки , , , .Найдите их декартовы координаты, совместив декартову прямоугольную систему координат с полярной, поместив начало координат в точки полюса и направив полярную ось в положительном направлении оси Ох.

Ответ. , , , .

3. Запишите в полярных координатах уравнения кривых и постройте эти кривые: а) ; б) ; в) .

Ответ: а) ; б) ; в) .

4. Составьте параметрические уравнения окружности, радиус которой , а центр находится в начале координат.

Ответ.

5. Приведите к виду или уравнения кривых, заданных параметрически:

а) б) в) г)

Ответ: а) , б) , в) , г) .

6. Определите траекторию точки , которая при своем движении все время остается вдвое ближе к точке , чем к точке .

Ответ: .

7. Определите траекторию точки, которая при своем движении остается в двое дальше от точки , чем от прямой .

Ответ: .

Кривые второго порядка

Эллипс

Основные теоретические сведения

Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек и , называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная (большая, чем расстояние между фокусами).

,

где . В этом случае фокусы эллипса , (рис.2.31).

Рис. 2.31

Начало координат является центром симметрии эллипса, а оси координат – осями симметрии эллипса. Точки , , , называются вершинами эллипса, а длины отрезков и соответственно большой и малой полуосями.

Таким образом, эллипс есть замкнутая выпуклая линия с двумя осями симметрии и центром симметрии (рис. 2.31).

Величина называется эксцентриситетом эллипса.

Окружность можно считать частным случаем эллипса, у которого , т.е. .

Уравнение эллипса с осями симметрии, параллельными координатным осям, имеет вид

,

где , координаты центра симметрии эллипса.

Гипербола

Гиперболой называется множество точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек и , называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная (не равная нулю и меньшая, чем расстояние между фокусами).

Если обозначить постоянную величину через , а расстояние между фокусами через и выбрать систему координат так же, как и для эллипса (рис. 2.32), то уравнение гиперболы примет канонический вид , где .

Рис. 2.32

В этом случае фокусы гиперболы и . Оси координат являются осями симметрии гиперболы, а точка ее центром симметрии. Гипербола пересекает ось абсцисс в точках и , которые называются действительными вершинами, а величина действительной полуосью гиперболы. Точки и называются мнимыми вершинами гиперболы, а величина мнимой полуосью.

Прямоугольник с центром в начале координат и сторонами, параллельными координатным осям и проходящими через вершины гиперболы, называется основным прямоугольником гиперболы.

Гиперболы имеют две асимптоты, т.е. прямые, к которым неограниченно приближаются ветви гиперболы. Уравнения асимптот:

Отсюда следует, что они являются диагоналями основного прямоугольника. Для построения гиперболы всегда лучше сначала построить ее асимптоты, а затем уже саму кривую.

Эксцентриситет гиперболы . Выражая эксцентриситет через полуоси гиперболы:

,

видим, что он характеризует вытянутость основного прямоугольника гиперболы.

Уравнение гиперболы с осями симметрии, параллельными координатным осям, имеет вид

,

где , - координаты центра гиперболы.

Если оси гиперболы равны, т.е. , гипербола называется равносторонней. Ее уравнение имеет вид

.

Для равносторонней гиперболы основной прямоугольник превращается в квадрат, а эксцентриситет равен .

Парабола

Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки , называемой фокусом параболы, и данной прямой , называемой ее директрисой.

Если выбрать прямоугольную систему координат так, чтобы ось проходила через фокус и была перпендикулярна к директрисе , а ось проходила между фокусом и директрисой (рис. 2.33), то уравнение параболы примет канонический вид

,

где расстояние от фокуса до директрисы. Уравнение директрисы , фокус .

Рис. 2.33

Рис. 2.34

Начало координат является вершиной параболы, а ось абсцисс – ее осью симметрии. Эксцентриситет параболы .

Если осью симметрии параболы служит ось ординат (рис. 2.34), то уравнение параболы имеет вид

.

Уравнение директрисы в этом случае , фокус .

Уравнение параболы с осью симметрии, параллельной одной из координатных осей, имеет вид

или ,

где , координаты вершины параболы.