Задание для самостоятельной работы

1. Определите полуоси, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса .

Ответ: .

2. Составьте каноническое уравнение эллипса, у которого малая полуось равна , а расстояние между фокусами равно .

Ответ: .

3. Составьте каноническое уравнение эллипса, у которого большая полуось равна , а эксцентриситет равен .

Ответ: .

4. Эллипс касается оси абсцисс в вершине и оси ординат в вершине . Составьте уравнение этого эллипса.

Ответ: .

5. Определите траекторию точки , которая при своем движении остается в два раза ближе к точке , чем к прямой .

Ответ: .

6. Оси эллипса совпадает с осями координат, и эллипс проходит через точки , . Составьте уравнение этого эллипса.

Ответ: .

7. Составьте уравнение гиперболы, имеющей вершины в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса

Ответ: .

8. Составьте каноническое уравнение гиперболы, если ее фокусы лежат на оси и расстояние между ними равно , а действительная ось гиперболы равна 16.

Ответ: .

9.Найдите длины осей, координаты фокусов, эксцентриситет и уравнения асимптот гиперболы

Ответ: .

10. Составьте каноническое уравнение гиперболы, зная, что расстояние между фокусами равно , а эксцентриситет

Ответ: .

11. Составьте уравнение гиперболы, если известно, что асимптоты заданы уравнениями и гипербола проходит через точку

Ответ: .

12. Определите траекторию точки , которая при своем движении остается вдвое ближе к прямой , чем к точке .

Ответ: .

13. Составьте уравнение гиперболы, если известно, что ее асимптоты заданы уравнениями и расстояние между фокусами равно

Ответ: .

14.Парабола симметрична относительно оси , проходит через точку , а вершина ее лежит в начале координат. Составьте уравнение этой параболы.

Ответ: .

15. Найдите уравнение директрисы и фокус параболы

Ответ: .

16. Парабола с вершиной в начале координат проходит через точку и симметрична относительно оси . Составьте ее уравнение и найдите фокус и директрису.

Ответ: .

17. Струя воды, выбрасываемая фонтаном, принимает форму параболы, параметр которой . Определите высоту струи, если известно, что она падает в бассейн на расстоянии от места выхода.

Ответ: 5 м.

18. Составьте уравнение множества центров окружностей, касающихся оси и окружности

Ответ: .

19. Составьте уравнение середины хорд параболы , проходящих через ее фокус.

Ответ: .

20. Выделением полных квадратов и переносом начала координат упростите уравнения линий и постройте их:

Ответ: а) ; г) ;

б) ; д) .

в) ;

21. Приведите к каноническому виду уравнения линий второго порядка. Установите тип этих линий и их расположение:

Ответ: а) эллипс; д) пара прямых;

б) парабола; е) равностор.гиперб.;

в) пара прямых; ж) гипербола;

г) гипербола; з) эллипс.

22. Найдите траекторию точки, которая движется так, что расстояние от нее до точки вдвое меньше, чем до точки .

Ответ: окружность.

23. Даны окружность и точка . Составьте уравнение окружности, имеющий центр в данной точке и касающейся данной окружности внешним образом.

Ответ: .

24. Составьте уравнение окружности, проходящей через точки , и .

Ответ: .

25. В эллипс вписан правильный треугольник, одна из вершин которого совпадает с концом большой полуоси. Определите координаты двух других вершин треугольника.

Ответ: .

26. Составьте уравнения множества точек, отношение расстояний, от которых до данной точки и данной прямой равно . Сделайте чертеж.

Ответ: равносторонняя гипербола.

27. Определите множество центров окружности, касающихся окружности и оси .

Ответ: парабола.

28. Найдите длину хорды, соединяющие точки пересечения двух парабол, имеющих общую вершину в начале координат и фокусы в точках и .

Ответ: .

29. Ракета, пуск которой произведен под острым углом, описала дугу параболы и упала на расстоянии от начального положения. Определите параметр параболической траектории, если наибольшая высота, достигнутая ракетой, равна

Ответ: 400.

30. В параболу вписан равносторонний треугольник, одна из вершин которого совпадает с вершиной параболы. Найдите длину стороны треугольника.

Ответ: .

31. Постройте кривые, заданные уравнениями: