Примеры решение задач. Найти полуоси, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса

Задача 6.1. Найти полуоси, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса

Решение. Разделив данное уравнение эллипса на , приведем его к виду . Отсюда следует, что большая полуось эллипса , а малая полуось . Известно, что , поэтому

.

Следовательно, координаты фокусов и , а его эксцентриситет .

Ответ.

Задача 6.2. Эллипс касается оси ординат в начале координат, а центр симметрии его находится в точке . Составить уравнение эллипса, если его эксцентриситет равен .

Решение. Выполним чертеж (рис. 2.35).

Каноническое уравнение такого эллипса В нашем случае

Рис. 2.35

Известно, что . Следовательно, для нахождения надо знать . Найдем из формулы эксцентриситета: , , откуда . Значит, ,

Итак, уравнение искомого эллипса

Ответ.

Задача 6.3. Определитель траекторию точки , которая при своем движении остается втрое ближе к точке , чем к прямой

Решение. Траекторию точки найдем как уравнение множества точек плоскости, обладающих свойством (рис. 2.36). Расстояние между любыми точками и найдем по формуле Следовательно, .

Рис. 2.36

После преобразований получаем искомое уравнение:

.

Таким образом, точка движется по эллипсу. При этом большая ось эллипса и его фокусы расположены на оси

Ответ. .

Задача 6.4.Действительная полуось гиперболы , эксцентриситет Составить каноническое уравнение гиперболы и начертить ее.

Решение. Эксцентриситет гиперболы Следовательно,

, ,

откуда фокусы гиперболы , , а мнимая полуось . Искомым уравнением гиперболы будет

.

Рис. 2.37

Вершины гиперболы: , , , . Через них проводим стороны основного прямоугольника. Его диагонали являются асимптотами гиперболы. Построим их. Затем через вершины и гиперболы проводим ее ветви, приближая их к асимптотам (рис. 2.37).

Ответ. .

Задача 6.5.Дана равносторонняя гипербола . Найти уравнение эллипса, фокусы которого находятся в фокусах гиперболы, если известно, что эллипс проходит через точку .

Решение. Для данной гиперболы . Следовательно, из соотношения получаем , откуда . Значит, фокусы гиперболы и . В этих же точках находятся фокусы эллипса.

Обозначим через и соответственно большую и малую полуоси эллипса. Тогда при условии, что , будем иметь Для определения и используем еще одно условие: что точка лежит на эллипсе, т.е. ее координаты должны удовлетворять уравнению эллипса

(6.8)

Это значит, что Таким образом, для определения и имеем систему уравнений

решив которую, получим , Подставив эти значения в уравнение (6.8), найдем

Ответ.

Задача 6.6. Асимптоты гиперболы имеют уравнения . Фокусы лежат на оси и расстояние между ними равно . Написать каноническое уравнение гиперболы и начертить ее.

Решение. Так как фокусы гиперболы лежат на оси , то ее каноническое уравнение имеет вид

Разрешив уравнение асимптот относительно , получим , откуда . Кроме того, , т.е. Так как для гиперболы , то для нахождения и получим систему уравнений

Рис. 2.38

решив которую, будем иметь , . Следовательно, каноническое уравнение гиперболы (рис. 2.38)

Ответ.

Задача 6.7. Составить уравнение параболы и ее директрисы, если парабола проходит через точки пересечения прямой и окружности и симметрична относительно оси .

Решение. Найдем точки пересечения заданных линий, решив совместно их уравнения:

В результате получим два решения и . Точки пересечения и . Так как парабола проходит через точку и симметрична относительно оси , то в этой точке будет находиться вершина параболы. Поэтому уравнение параболы имеет вид . Так как парабола проходит через точку , то координаты этой точки удовлетворяют уравнению параболы: , ,

Итак, уравнением параболы будет , уравнение директрисы или , откуда

Ответ. ;

Задача 6.8. Мостовая арка имеет форму параболы. Определить параметр этой параболы, зная, что пролет арки равен , а высота

Решение.выберем прямоугольную систему координат так, чтобы вершина параболы (мостовой арки) находилась в начале координат, а ось симметрии совпадала с отрицательным направлением оси . В таком случае каноническое уравнение параболы имеет вид , а концы хорды арки и . Подставив координаты одного из концов хорды (например, ) в уравнение параболы и решив полученное уравнение относительно , получим

Ответ.

Задача 6.9. Привести уравнение кривой к каноническому виду и построить эту кривую.

Решение. В уравнении , , , , , Вычислим дискриминант старших членов:

.

Так как , данная линия является кривой эллиптического типа.

Найдем центр кривой из системы

Решив ее, получим , .

С помощью параллельного переноса осей координат в центр уравнение кривой в новой системе приводится к виду:

,

подставив в исходное уравнение кривой, получим

(6.9)

Для дальнейшего упрощения уравнения (6.9) применим правило приведения квадратичной формы к каноническому виду. Составим характеристическое уравнение

или .

Отсюда .

Повернув теперь оси координат так, чтобы направления осей и совпадали с главными направлениями квадратичной формы, уравнение (6.5) приведем к каноническому виду

или .

Из уравнения видно, что это эллипс с полуосями , . Чтобы построить этот эллипс найдем главное направление, соответствующее характеристическому числу (его мы приняли за ось в каноническом уравнении). Подставив коэффициенты нашего уравнения в систему

получим

Полагая , находим, что . Единичный вектор оси имеет в системе координаты и . Следовательно, , а .

Повернув систему на угол по часовой стрелке, получим прямоугольную систему координат , в которой легко построить эллипс (рис. 3.39).   Задача 6.10. Преобразовать к каноническому виду уравнение (6.10) и построить линию, задаваемую этим уравнением.

Рис. 3.39

Решение. В исходном уравнении , , , , , Дискриминант старших членов

Следовательно, уравнение определяет нецентральную линию второго порядка, т.е. линию параболического типа.

Составим характеристическое уравнение квадратичной формы старших членов:

или

Отсюда ,

Найдем главное направление, соответствующее характеристическому числу . Для этого подставим в систему

коэффициенты нашего уравнения. Получим

Полагая , имеем . Следовательно, главное направление, соответствующее характеристическому числу , определяется вектором . Нормируя его, находим единичный вектор: . Это значит, что , а , т.е. поворачиваем систему на угол .

Используя теперь равенства (6.10), имеем:

Следовательно, уравнение (10.17) в системе координат принимает вид

(6.11)

Уравнение (6.11) определяет параболу. Для приведения его к каноническому виду найдем координаты нового начала. Сгруппируем члены с одинаковыми переменными и выделим полный квадрат:

Рис. 2.40

После параллельного переноса осей координат в новое начало уравнение параболы (6.11) в системе координат примет канонический вид . Расположение параболы показано на рис. 2.40.