Уравнение проекции Меркатора

Покажем, что прямая линия на карте в меркаторской проекции действительно представляет собой локсодромию.

Локсодромия ® кривая, пересекающая все меридианы под одним и тем же углом К (рис. 6.2).

Рис. 6.2. Локсодромия на земном шаре

Судно, совершающее плавание постоянным курсом, перемещается именно по локсодромии.

Уравнение локсодромии на поверхности эллипсоида имеет вид:

(6.6)

Если пренебречь сжатием эллипсоида и приняв Землю за шар, то уравнение локсодромии примет вид:

(6.7)

Из формулы (6.7) выводятся следующие свойства локсодромии:

· – при К = 0°(180°) ® локсодромия совпадает с меридианом;

• – при К = 90°(270°) ® локсодромия совпадает с параллелью, а при j = 0° – с экватором;
• – при любых других К – локсодромия является логарифмической спиралью, стремящейся к полюсу, но никогда его не достигающей;
• – локсодромия своей выпуклостью обращена к экватору.

Длину и направление локсодромии по известным координатам точек вычисляют по формулам аналитического счисления.

Напишем уравнение прямой, проходящей через т. А (Х₀, У₀) наклонно к оси Х под углом К равным курсу (рис. 6.3).

Рис. 6.3. Уравнение прямой

(6.8)

Подставим в полученное уравнение (6.5) вместо Х и У их выражения через j и l, принимая для простоты Землю за шар:

(6.9)

где а – коэффициент пропорциональности определяющий расстояния между меридианами.

(6.10)

Тогда:

(6.11)

Это уравнение показывает, что прямая линия на меркаторской проекции действительно представляет собой локсодромию.

Таким образом, проводя на меркаторской проекции параллели в расстоянии МЧ от экватора, удовлетворяются оба требования, предъявляемые к морской навигационной карте.