Контрольная работа № 6

Пусть дано:

; у(0)=1; x [1,2] .

Шагом интегрирования h = 0,2 отрезок [0,1] разбивается на пять равных частей точками х₀ = 0, х₁ = 0,2, х₂ = 0,4, х₃ = 0,6, х₄ = 0,8, х₅ = 1,0.

Решение уравнения методом Эйлера

Приближенные значения у₁, у₂,..,у₅решения исходного уравнения в точках х₁, х₂,… х₅ вычислим по формуле (10..8), в которой . Результаты вычисления будем заносить в табл.2. Заполняется она следующим образом.

В первой строке при i = 0 записываются начальные значения х₀ = 0,0; у₀ = 1,0000и по ним вычисляются f(х₀, у₀) = 1,0000, а затем Δу = hf (х₀, у₀) = = 0,2*1,0000 = 0,2000. Тогда по формуле (108) при i = 0 находим у₁ = у₀ + Δу₀ = = 1,0000 + 0,2000 = 1,2000.

Во второй строке при i = 1 записываем значения х₁ = 0,2; у₁ = 1,2000. Используя их, вычислим f (х₁,у₁)= 0,8667 затем

Δу₁ = hf (х₁, у₁)= 0,2*0,8667 = 0,1733.

И по формуле (108) при i = 1 получаем у₂ = у₁+Δу₁ = 1,2000 + 0,1733 = 1,3733. При i = 2, 3, 4, 5 вычисления ведутся аналогично.

Таблица 2

Решение уравнения модифицированным методом Эйлера

Приближенные значения у₁, у₂,..,у₅решения исходного уравнения в точках х₁, х₂,… х₅ вычислим по формулам (10.11) и (10.12), в которых . Результаты вычислений будем заносить в табл.3. Заполняется она следующим образом.

Таблица 3

i	х1	у1
	0,0	1,0000	0,1	1,0000	1,0000	0,1836
	0,2	1,1836	0,3	0,8457	1,2682	0,1590
	0,4	1,3426	0,5	0,7467	1,4173	0,1424
	0,6	1,4850	0,7	0,6769	1,5527	0,1302
	0,8	1,6152	0,9	0,6246	1,6778	0,1210
	1,0	1,7362

В первой строке записываем i = 0, x₀ = 0,0, y₀ = 1,0000. Вычисляем

;

Далее находим

;

и

Тогда по формуле (10.12) при i = 0 имеем

у₁ = у₀ + Δу₀ = 1,0000 + 0,1836 = 1,1836.

Используя этот результат, записываем во второй строке i = 1, x₁ = 0,2, y₁ = 1,1836 и последовательно находим

;

; ;

Тогда по формуле (10.12) при i = 1 имеем

у₂ = у₁ + Δу₁ = 1,1836 + 0,1590 = 1,3426.

Заполнение таблицы при i = 2, 3, 4, 5 проводится аналогично.