Метод деления отрезка пополам (дихотомии).

Идея метода заключается в делении отрезка, на котором содержится корень, пополам, до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность.

Поделим отрезок пополам. Координата середины отрезка определится как . Теперь корень остался на одной из частей: или . Если , то это говорит о том, что функция на отрезке меняет свой знак, то есть на данном интервале находится корень. В этом случае деление отрезка можно повторить, приняв в качестве нового правого конца точку , т.е. приравняв . В противном случае, корень попал на половину , и необходимо изменить значение левого конца отрезка: . Поскольку корень всегда заключен внутри отрезка, итерационный процесс можно останавливать, если длина отрезка станет меньше заданной точности: .

ПРИМЕР 1.2. Найдем первый корень уравнения с точностью .

Вычисления выполним при помощи электронной таблицы Excel, задавая начальные значения концов интервала изоляции и формул для выполнения итераций. Результаты оформляются в виде таблицы

где во второй строке во втором и третьем столбцах заданы , – начальные границы интервала изоляции корня; вычисляется по формуле , , а , в свою очередь определяются как

и

В результате расчета приближенное значение первого корня при заданной величине точности . При необходимо сделать большее число итераций, поэтому к приведенной выше таблице добавятся строки:

Как можно видеть, значение корня в этом случае , что является более близким к точному значению. Второй и третий корни находятся аналогично.