Метод Ньютона (касательных)

Для уравнений (1.1) метод Ньютона определяется формулой: . Суть метода состоит в замене нелинейной функции f(x) линейной. Геометрическая иллюстрация метода представлена на рис. 1.5. Участок кривой на отрезке заменяется отрезком касательной, проведенной из точки к графику функции . Уравнение касательной имеет вид . Найдем точку пересечения касательной с графиком функции , т.е. с осью абсцисс, и обозначим ее . Тогда уравнение касательной в этой точке будет иметь вид . Отсюда можно найти .

Рис. 1.5. Графическая интерпретация метода Ньютона

Можно показать, что , т.е. метод сходится со вторым порядком.

Метод Ньютона можно трактовать как метод простой итерации, если функцию выбрать в виде .

Замечание. Если известен интервал изоляции, в котором не меняет знак, то в качестве начального приближения берут тот конец интервала изоляции, для которого знаки и совпадают.

ПРИМЕР 1.4.Найдем с помощью метода Ньютона третий корень уравнения , лежащий на интервале , с точностью . Сначала убедимся, что не меняет знака на этом отрезке. при , т.е. на интервале [4,5]. Так как , то на этом конце знаки и совпадают и .

Вычисления оформим в виде таблицы:

Номер итерации
	4.944444	0.027606	17.00926	0.055556
	4.942821	2.33E-05	16.98059	0.001623
	4.94282	1.66E-11	16.98057	1.37E-06

Здесь , , .

В качестве корня можно взять значение: . Из таблицы видно, что процесс сошелся уже на второй итерации.

Для того, чтобы сравнить методы дихотомии и касательных, найдем первый корень уравнения на отрезке методом Ньютона:

Так как , то на интервале , а так как , то .

Номер итерации
	-2	-27		-
	-1.30769	-5.41966	23.82249	0.692308
	-1.08019	-0.50182	19.46272	0.227502
	-1.05441	-0.00613	18.9882	0.025783
	-1.05408	-9.5E-07	18.98229	0.000323

Заданная точность достигается на 4-ой итерации. Напомним, что метод дихотомии (Пример 1.2) достиг точности 0,001 лишь на 10-ой итерации.

Вычислим второй корень нашего уравнения на отрезке . Поскольку вторая производная меняет знак на отрезке при , уменьшим интервал изоляции так, чтобы изменения знака не происходило. Рассмотрим интервал . Вычислим значения функции и второй производной на левом конце отрезка:
, .

Поскольку функция и вторая производная имеют один знак, в качестве начального приближения выбираем .

Номер итерации
	2.1	0.101	-8.97	-
	2.11126	3.95E-05	-8.96286	0.01126
	2.111264	6.47E-12	-8.96286	4.4E-06
	2.111264		-8.96286	7.22E-13

В сравнении с методом простой итерации значение корня было получено за две итерации вместо шести.

Эти примеры показывают, что метод Ньютона сходится быстрее, чем метод дихотомии и метод простой итерации. Но для его использования необходимо выбирать начальное приближение, достаточно близкое к корню.

Упрощенный метод Ньютона. Эта модификация метода Ньютона используется, если производная представляет собой сложную функцию, и для ее вычисления на каждой итерации тратится много времени. Зададим – начальное приближение и вычислим производную . На следующих итерациях используется вычисленное значение производной: . Это упрощение несколько замедляет процесс сходимости к решению, однако сокращает время каждого итерационного цикла.

Метод хорд

В этом методе кривая заменяется прямой линией – хордой, стягивающей точки и . В зависимости от знака выражения метод хорд имеет два варианта, изображенных на рис. 1.6, а, б.

Пусть (рис. 1.6, а). Тогда , точка будет оставаться неподвижной. Следующее приближение находим как точку пересечения хорды, соединяющей точки и с осью . Поскольку уравнение хорды записывается как , то точка пересечения хорды с осью находится из выражения: .

Рис. 1.6. Метод хорд для (a)и (b)

Пусть теперь (рис. 1.6, б). Тогда , точка неподвижна. Проведем хорду, соединяющую точки и : . Вычисляем точку пересечения хорды с осью : . На следующей итерации в качестве надо взять вычисленное значение и т.д. Таким образом, мы получим следующую последовательность вычислений в зависимости от вида функции:

Если , то и . Если же , то и , где - номер итерации.

Окончание итерационного цикла в данном методе происходит либо по условию малости невязки уравнения: , либо по условию .

ПРИМЕР 1.5.Найти первый и третий корень уравнения методом хорд.

Концы интервала изоляции для первого корня и , соответственно. Проверим знак выражения для данного уравнения:

. Таким образом, расчет ведется по формулам: и . В результате получим таблицу:

Номер итерации
	-1		-
	-1.03571	0.345618	0.035714
	-1.0479	0.117007	0.012187
	-1.05201	0.039334	0.004108
	-1.05339	0.013192	0.001379
	-1.05385	0.004421	0.000462

Заданная точность достигнута на пятой итерации.

Для третьего корня , , и , следовательно, расчет ведется по вторым формулам: и . Результаты вычислений показаны ниже:

Номер итерации
		-9	-
	4.9	-0.711	0.9
	4.941555	-0.02147	0.041555
	4.942783	-0.00062	0.001229
	4.942819	-1.8E-05	3.57E-05

Заданная точность достигнута на четвертой итерации.