Метод обратной матрицы

Если , то существует матрица , обратная к данной. Умножим исходную систему уравнений (2.1) на обратную матрицу слева. Получим

.

Известно, что произведение обратной матрицы на исходную дает единичную матрицу , и, следовательно, получаем , или

(2.3)

Решение СЛАУ свелось к умножению известной обратной матрицы на вектор правых частей. Таким образом, задача решения СЛАУ и задача нахождения обратной матрицы связаны между собой, поэтому часто решение СЛАУ называют задачей обращения матрицы. Проблемы использования этого метода те же, что и при использовании метода Крамера: нахождение обратной матрицы – трудоемкая операция. Однако для небольших m решение может быть получено с помощью функций Excel.

ПРИМЕР 2.3. С помощью метода обратной матрицы решить систему

Занесем на рабочий лист Excel матрицу коэффициентов

и вектор правых частей .

Выделим на рабочем листе область размером ячейки для обратной матрицы и вызовем функцию МОБР. В поле Массив занесем адреса ячеек исходной матрицы A, и, нажав комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter, получим A^-1:

Полученную обратную матрицу умножим на вектор правых частей . Для этого выделим столбец из трех ячеек и вызовем функцию МУМНОЖ. В поля Массив 1 и Массив 2 занесем адреса ячеек, в которых находятся найденная обратная матрица и вектор правых частей, после чего, нажав комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter,получим решение СЛАУ

Замечание. Если одна из клавиш Ctrlили Shiftне нажата, вычисления будут выполнены не во всем выделенном диапазоне, а только в одной ячейке. В этом случае весь процесс вызова функции необходимо повторить.

Метод Гаусса

Наиболее известным и популярным прямым методом решения СЛАУ является метод Гаусса. Этот метод заключается в последовательном исключении неизвестных. Метод состоит из двух этапов. На первом (прямом) этапе исходная система сводится к системе с треугольной матрицей, которая решается на втором (обратном) этапе. На прямом этапе используются следующие эквивалентные преобразования строк расширенной матрицы системы: перестановка строк, умножение строки на ненулевую константу, сложение строк.

Прямой этап.Пусть в системе уравнений

первый элемент. Назовем его ведущимэлементом первой строки. Разделим все элементы этой строки на , и исключим из всех последующих строк, начиная со второй, путем вычитания первой (преобразованной), умноженной на коэффициент при в соответствующей строке. Получим

.

Если , то на него можно разделить второе уравнение, а затем исключить из всех остальных уравнений. С помощью аналогичных преобразований приходим к системе уравнений с верхней треугольной матрицей

(2.4)

Обратный этап.Решаем систему (2.4) с верхней треугольной матрицей в обратном порядке:

. (2.5)

В случае если один из ведущих элементов равен нулю, изложенный алгоритм метода Гаусса неприменим. Кроме того, если какие-либо ведущие элементы малы, то это приводит к усилению ошибок округления и ухудшению точности счета. Поэтому обычно используется другой вариант метода Гаусса – схема Гаусса с выбором главного элемента. Путем перестановки строк и других эквивалентных преобразований добиваются выполнения условия: , т.е. осуществляется выбор первого главного элемента. Переставляют уравнения так, чтобы в первом уравнении коэффициент был максимальный по модулю. Разделив первую строку на главный элемент, как и прежде, исключают из остальных уравнений. Затем для оставшихся столбцов и строк выбирают второй главный элемент и т.д.

ПРИМЕР 2.4.Рассмотрим применение метода Гаусса с выбором главного элемента на примере следующей системы уравнений:

.

В первом уравнении коэффициент при равен 0, во втором 1 и в третьем -2, т.е. максимальный по модулю коэффициент находится в третьем уравнении. Поэтому переставим третье уравнение на место первого:

.

В третьем уравнении коэффициент при равен 0. Исключим из второго уравнения:

Рассмотрим второе и третье уравнения. Исключим из третьего уравнения. Для этого умножим второе на -0.5 и сложим с третьим:

.

Далее находим значения обратным ходом: из третьего уравнения получаем , из второго , и из первого . Выполним проверку:

.

Такая перестановка уравнений необходима для того, чтобы уменьшить влияние ошибок округления на конечный результат.

Часто возникает необходимость в решении СЛАУ, матрицы которых являютсяслабо заполненными, т.е. содержат много нулевых элементов. В то же время эти матрицы имеют определенную структуру. Среди таких систем выделим системы с матрицами ленточной структуры, в которых ненулевые элементы располагаются на главной диагонали и на нескольких побочных диагоналях. Для решения систем с ленточными матрицами коэффициентов вместо метода Гаусса можно использовать более эффективные методы. Для случая трехдиагональных матриц разработан экономичный метод прогонки.

Метод прогонки

Рассмотрим метод прогонки для СЛАУ вида:

(2.6)

Решение данной системы ищем в виде:

(2.7)

Здесь a_i, b_i – неизвестные прогоночные коэффициенты. Как и метод Гаусса, метод прогонки состоит из двух этапов. На первом (прямом) этапе определяются прогоночные коэффициенты, на втором (обратном) вычисляется вектор решения.

Прямой этап.Сравнивая соотношение (2.7) при i=2: и следствие первого уравнения системы (2.6): , получим формулы для первых прогоночных коэффициентов: .

Подставляя (2.7) во второе уравнение (2.6), получим:

.

Или, после преобразования,

,

откуда

Сравнивая с (2.7), получим

.

Таким образом, можно найти все .

Обратный этап.Подставляя последнее прогоночное соотношение (2.7) в последнее уравнение (2.6), получим:

.

Затем, последовательно применяя (2.7), находим:

.

Таким образом, алгоритм метода прогонки можно представить в виде:

1. Находим ;

2. Для вычисляем

.

3. Находим .

4. Для находим: .

Теорема. Пусть коэффициенты , системы уравнений при отличны от нуля и пусть при . Тогда прогонка корректна и устойчива.

При выполнении этих условий знаменатели в алгоритме метода прогонки не обращаются в нуль и, кроме того, погрешность вычислений, внесенная на каком либо шаге расчетов, не будет возрастать при переходе к следующим шагам. Данное условие есть не что иное, как условие диагонального преобладания.